uneigentliche Integral

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Springpony Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliche Integral
Für welche konvergiert das Integral?


Meine Frage dazu, muss ich das Integral als erstes mal mit partieller Integration integrieren ohne grenzen?Oder ist der erste schritt ein anderer?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: uneigentliche Integral
Ich würde das Reihenkriterium vorschlagen.
D.h. untersuchen, wann konvergiert.

mfg,
Ché Netzer
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

Reihenkriterium? Hatten wir noch nicht.
Wir hatten nur Majoranten und Minorantenkriterium, meinst du das?

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ob der Name "Reihenkriterium" wirklich verbreitet ist, weiß ich nicht verwirrt
Aber "andersrum" wäre es das Integralkriterium: Eine Reihe (von 1 bis Unendlich) über f(n) konvergiert genau dann, wenn das Integral (von 1 bis Unendlich) von f(x)dx existiert.
Die Startwerte sind aber natürlich auch anders wählbar, wenn das Integral dann entsprechend definiert ist; dann addiert/subtrahiert man ja nur endliche Summen/Flächen.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Reihen-/Integralkriterium ist nur anwendbar, wenn die Funktion monoton ist.

Betrachte zb



und



Und noch eine Frage an den Threadersteller, soll wirklich a auch untere Grenze sein?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die gegebene Funktion ist doch monoton, wenn ich mich nicht irre. Zumindest ab einer bestimmten Stelle und davor ist das Integral ja endlich.
 
 
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da habe ich mich verschrieben. SRy
Für welche konvergiert das Integral?



muss sein und monoton um das Kriterium anzuwenden
Die Exponentialfunktion ist immer positiv. ob t^a positiv ist hängt vom Vorzeichen von t ab.

Monotonie. Ich weiß nicht, nützt es sich die erste ABleitung anzuschauen
nach t ableiten=
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und was glaubst du ist das Vorzeichen von t im Intervall ? Negativ? Big Laugh

In der Ableitung soll das aber ein + sein, oder?
Naja, ich würde sagen, man kann sich auch die zweite Ableitung ansehen; die hat eine endliche Anzahl Nullstellen, daher ist die Funktion ab der letzten Wendestelle monoton.

Über die erste Ableitung:
Der Grenzwert von ist Unendlich mit dem Vorzeichen von b, da b vor der höheren Potenz steht (unabhängig vom Vorzeichen von a). Also hat die Ableitung auch irgendwann immer das gleiche Vorzeichen.

Auf jeden Fall ist die Funktion irgendwann monoton und von daher dürfte man das Reihenkriterium anwenden können.

Edit: Das Intervall untersuchen wir hier hoffentlich nicht, Unendlich also bitte ausschließen Augenzwinkern

Edit2: Für a<0 ist der Grenzwert der ersten Ableitung nicht mehr Unendlich verwirrt
Aber die Ableitung hat als einzige von Null verschiedene Nullstelle ja eh nur -a/b Big Laugh Also kann es da nur einen Vorzeichenwechsel geben. Oder ist es für mich doch schon zu spät zum Denken? verwirrt
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ist soweit klar.

Ich mach das "Reihenkriterium" zum ersten mal. Jetzt kann ich z.B. das Quotientenkriterium bei der Reihe anwenden oder macht man das anders?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt also die Reihe . Da bietet sich ein anderes Kriterium an, wenn du dir den rechten Faktor ansiehst.
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

rechte Faktor . Ich hätte vielleicht an abschätzen gedacht. aber da ich die werte von a,b nicht weiß ich das ziemlich schwierig.
Anderer Einfall Wurzelkriterium..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und dann kennt man noch den Grenzwert .

Ansonsten die "Herleitung": Die Reihe über 1/n ist nicht konvergent, also muss laut Wurzelkriterium der obige Grenzwert (der ja hier im Nenner steht) kleiner gleich 1 sein.
Die Reihe über n ist ganz offentlich auch nicht konvergent, also muss der Grenzwert (hier wieder im Zähler) größer gleich 1 sein.
Naja, oder so ähnlich Augenzwinkern
Den Fall, dass der Grenzwert nicht existiert, habe ich mal ignoriert smile

Aber den kann man eigentlich eh voraussetzen.
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »






konvergenz.

Hab ich mich da verzettelt?
Liebe Grüße
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du aber auch noch nach b umstellen Augenzwinkern
Ansonsten komme ich zum gleichen Ergebnis. Dürfte stimmen verwirrt
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

und a kann beliebig gewählt werden oder wie?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich so behaupten.
Die Exponentialfunktion ist ja immerhin "stärker" als jede Potenzfunktion.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a <= -1 ist das Integral bei 0 divergent.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, natürlich Hammer
Ich hatte wohl noch als untere Grenze a im Kopf und da kann a ja nicht negativ werden.
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

mhm jetzt verstehe ich es gar nicht mehr traurig


Kann man im Fall a,b>0 durch geeignete abschätzung nicht eine divergente Minorante finden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auf dem Intervall . Wenn es da schon divergiert, spielt der Bereich [0,1] ja keine Rolle mehr.
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a,b >0



Es kann doch auch seien, dass t= 1/2 ist und dann gilt die abschätzung nicht.

Und

-> divergiert
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Auf dem Intervall [0,1] ist das Integral wie gesagt für a,b>0 endlich, aber danach kann man es wie beschrieben abschätzen und damit Divergenz zeigen.
Springpony Auf diesen Beitrag antworten »

Also da und in 0 bis unendlich divergiert haben wir eine divergente Minorante gefunden.

Mir wäre dann noch die Gamma-funktion eingefallen. Kann man unseren Integranten noch abschätzen, dass wir die Gamma-funktion als konvergente Mayorante verwenden dürfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern konvergiert die Gamma-Funktion? verwirrt
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