Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)

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Mathesternchen Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
Meine Frage:
Hallo Ihr,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Die Zufallsvariablen X1,....,Xn seien stochastisch unabhängig und gleichverteilt auf der Menge {teta, teta+1,...,1000} wobei teta Element {1,2,...,1000} und Teta unbekannter Parameter.

Zeigen Sie:

Der Maximum- LIkelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)



Meine Ideen:
Mir wird einfach die Vorgehensweise bei solchen Aufgabentypen nicht klar, egal wie viele Beispiele ich mir anschaue, es macht einfach nicht 'klick'.

Also ich weiß, dass ich eine ML Funktion aufstellen muss.
Diese lautet Teta --> P(X1,...,Xn)=(x1,...,xn))
Da ja X1,...,Xn unabhängig sind kann ich schreiben:
P(x1=x1)*....*P(Xn=xn)
zudem weiß ich, dass X1,...,Xn gleichverteilt sind.
ALso ist die Dichtefunktion: f:= 1/ (1000- teta)

So und weiter komme ich leider nicht - ich weiß, dass ich meine Funktion maximieren muss, aber wie komme ich überhaupt auf eine Funktion, bei der ich sehe, ob sie in Abhängigkeit von teta monoton fallen oder wachsend ist????

Vielen Dank für Eure Hilfe
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
Bist Du Dir sicher, daß das die stetige Gleichverteilung sein soll?
Mathesternchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
in der Aufgabenstellung steht nur : X1,...,Xn seien stochastisch unabhängig und gleichverteilt auf der Menge...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
Ja, aber nach Deiner Idee verwendest Du ja die stetige Gleichverteilung.

Deswegen meine Frage: Kann das sein?
M.E. dreht es sich's hier um die diskrete GV.

Also
Mathesternchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
Also wie gesagt, in der Aufgabenstellung steht nicht mehr als ich oben geschrieben habe.
In der Lösung benutzen sie allerdings die Indikator funktion und geben somit das Ergebnis für den Schätzer: P((X1,...,Xn)=x1,...,xn))= P(X1=x1)*...*P(Xn=xn)
= (1/1000-teta+1)^n * 1{teta<= min(x1,...,xn)}*1{max(x1,...,xn)<=1000}

Woher kommt das (1/1000-teta+1)^n???

ps: Frohe Ostern =)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer für Teta ist min(X1,...,Xn)
Hallo und frohe Ostern!

Zunächst: Könntest Du bitte den Formeleditor benutzen oder techen? Es wäre viel lesbarer.

Wie gesagt: Es muss die diskrete Gleichverteilung sein, wie ich sie in meinem letzten Beitrag beschrieben habe. Die Lösung, die Du gibst, bestätigt das, denn für gilt:

.


Jetzt überlege Dir, wie Du die Likelihood berechnest:



(Ich meine mit die charakteristische Funktion.)

Da die unabhängig sind, ist schonmal klar, daß sich ergibt.


Überlege Dir nun noch, wie man die obige charakteristische Funktion auch ausdrücken kann mit Hilfe von , dann bekommst Du:




Hieraus erhält man:




Wann ist also maximal?

Genau dann, wenn .



(Dies ist eine Aufgabe zur Bestimmung des ML-Schätzer, bei der man also bei der Bestimmung des ML-Schätzer mal nicht per Differentiation weiterkommt. Eine ähnliche Aufgabe, an der Du Dich versuchen kannst, ist: Bestimme den ML-Schätzer für , wobei (SG=stetige Gleichverteilung).)



Ich hoffe, es ist klar geworden.
 
 
Mathesternchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen vielen Dank für die Erklärung =)
Jetzt hats klick gemacht =)
schönen Abend noch!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne! Wink
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