Dreieckige Pyramide (Gleichseitiges Dreieck als Grundfläche)

07.04.2012, 20:43	Daniel12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieckige Pyramide (Gleichseitiges Dreieck als Grundfläche) Hallo Ich habe eine Aufgabe die lautet: $\begin{eqnarray} S(\frac{a}{6}\sqrt{3} \| \frac{a}{2} \| h) \end{eqnarray}$ ist die Spitze der Pyramide. Für Welche Höhe h in Abhängigkeit von a sind die Seitenflächen der Pyramide zueinander orthogonal? Figur Beschreibung: Dreieckspyramide, Gleichseitiges Dreieck als Grundfläche Punkte $\begin{eqnarray} O(0\|0\|0), B(0\|a\|0), A(\frac{a}{2}\sqrt{3}\|\frac{a}{2}\|0) \end{eqnarray}$ So ich habe mal 2 älteren Beiträge gelesen und das hier hat mir geholfen: Ich wollte die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen $\begin{eqnarray} OBS \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} OAS \end{eqnarray}$ mit dem Skalarprodukt malnehmen und gleich 0 setzen um zu überprüfen ob es einen Wert h gibt wobei die Seitenflächen orthogonal zu einander sind. Das schwierige war diese Normalenvektoren zu bestimmen, da ich das normalerweise über Punkte-Paramaterform-Koordinatenform-Normalenform-Ablesen mache, habe ich aber bei einem anderen Beitrag gesehen dass es anders geht mit dem Vektor Produkt. $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OA} X \overrightarrow{OS} \end{eqnarray}$ sollte angeblich den Normalvektor OAS liefern bzw. $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OB} X \overrightarrow{OS} \end{eqnarray}$ sollte den Normalvektor OBS liefern. Ich habe das gemacht und ich kam auf $\begin{eqnarray} (\frac{a}{2}h \| -\frac{a}{3}\sqrt{3}h\|\frac{a²}{6}\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (ah\|0\|-\frac{a²}{6}\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ So, danach habe ich folgende Gleichung erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{a²}{2}h²-\left(\frac{a²}{6}\sqrt{3}\right)^{2} = 0 \end{eqnarray}$ und nach h aufgelöst ich erhielt $\begin{eqnarray} h_{1,2} =\frac {a}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ (Plus/Minus) Dann habe ich im Taschenrechner eingegeben und für a=1 eingesetzt ich erhielt dann auch als Lösung des Skalaprodukts 0. Meine Frage wäre: Stimmt meine Rechnung? Ist das logisch? ist damit die Aufgabe gelöst? oder habe ich durch Zufall eine Lösung erhalten? , denn auf logischer Ebene bin ich mir nicht sicher ob es überhaupt einen Wert für h geben kann. Vielen Dank für eure Hilfe
07.04.2012, 21:36	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es nachgerechnet und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen. Beispiele für solche Pyramiden mit senkrecht zueinander stehenden Seitenflächen kannst Du Dir in jeder Zimmerecke basteln.
08.04.2012, 01:54	Daniel12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo Vielen Dank also die Ecken meines Zimmers sind solche Pyramiden ? Interessant Noch ne Frage, dieses Verfahren mit dem Kreuzprodukt, wo man den normalenvektor aus 3 Punkte bestimmen möchte..welche andere Möglichkeiten (Verfahren) kann es noch geben? Denn ich suche was einfaches was am schnellsten geht, wegen der Zeit (Klausuren)
08.04.2012, 12:13	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Wege führen zum Normalenvektor. Wenn ich Deinen ersten Beitrag richtig verstehe, eliminierst Du die Parameter der Ebenengleichung. Man kann allerdings auch ein Gleichungssystem mit den Skalarprodukten aus Richtungs- und Normalenvektor aufstellen: $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{r} =0\text{ und }\vec{n} \cdot \vec{s} =0 \end{eqnarray}$ Am einfachsten und schnellsten geht es aber mit dem Kreuzprodukt, hier passieren dafür leider gelegentlich Vorzeichenfehler, Du solltest es also mit der Schnelligkeit nicht übertreiben. Wenn Du wirklich Pyramiden in den Zimmerecken haben möchtest, mußt Du jeweils ein gleichseitiges Dreieck einfügen. (Die Geschmäcker sind verschieden, jeder dekoriert sein Zimmer anders. )
08.04.2012, 20:28	Daniel12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich auf jeden fall für die Hilfe, ) In der Schule hat der Lehrer nie etwas vom Kreuzprodukt erwähnt -.- naja zum glück gibt es matheboard.de
08.04.2012, 20:35	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen! Frage aber vorsichtshalber Deinen Lehrer, ob Du das Kreuzprodukt in einer Klausur auch anwenden darfst. Zum Überprüfen eines Normalenvektors ist es aber allemal geeignet.
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