Abbildung von Mengen

07.04.2012, 21:27

xtream55

Abbildung von Mengen

Meine Frage:
Gegeben: Menge A:={-1,1} ? R und
Mengenintervall B:=[-1,1] ? R

Abbildung f: AxB -> [-1,1],(x,y) ? y/x

i)f surjektiv?

ii)f injektiv?

Meine Ideen:
Ich weiß das f surjektiv ist, aber nicht injektiv.

Im Intervall [-1,1] habe ich Probleme.

Kartesisches Produkt AxB, hab ich mir soweit überlegt.

Und die Definitionsmenge mit AxB und den Wertebereich [-1,1] hab ich in Bildern dargestellt.

(x,y) für das Intervall [-1,1] kann ich auch nicht definieren.

Vielen Dank, für die Hilfe im voraus smile

07.04.2012, 21:33

xtream55

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RE: Abbildung von Mengen

Zitat:

Original von xtream55
Meine Frage:
Gegeben: Menge A:={-1,1} TEilmenge von R und
Mengenintervall B:=[-1,1] TEilmenge von R

Abbildung f: AxB -> [-1,1],(x,y) -> y/x

i)f surjektiv?

ii)f injektiv?

Meine Ideen:
Ich weiß das f surjektiv ist, aber nicht injektiv.

Im Intervall [-1,1] habe ich Probleme.

Kartesisches Produkt AxB, hab ich mir soweit überlegt.

Und die Definitionsmenge mit AxB und den Wertebereich [-1,1] hab ich in Bildern dargestellt.

(x,y) für das Intervall [-1,1] kann ich auch nicht definieren.

Vielen Dank, für die Hilfe im voraus smile

07.04.2012, 21:40

Che Netzer

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RE: Abbildung von Mengen
Du hast zwei Argumente in einzusetzen: Das erste ist immer 1 oder -1 und das andere liegt dazwischen (inklusive 1 bzw. -1).
Das Tupel (x,y) ist also immer von der Form (1,y) oder (-1,y), wobei y beliebig aus [-1,1] zu wählen ist.
Dann ist f(1,y)=y/1=y und f(-1,y)=y/(-1)=-y. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Wenn du übrigens AxB in ein Koordinatensystem einzeichnest (mit x- und y-Achse), sind das zwei senkrechte Striche. Der eine geht vom Punkt (1|-1) bis zum Punkt (1|1) und der linke von (-1|-1) bis (-1|1).

Hilft dir das weiter?

mfg,
Ché Netzer

Edit: Das mit der Teilmenge kannst du so darstellen:

code:
1:	[l]A\subset\mathbb R[/l]

$\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$

07.04.2012, 22:01

xtream55

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RE: Abbildung von Mengen
Hallo, zum Verständnis schon. Wenigstens seh ich jetzt das es nur surjektiv sein kann smile

Kannst dus auch noch mit Def. für Inj.

f(a)=f(b)->a=b trifft hier nicht zu?

und Surj.

für alle b€B existieren a€A: f(a)=b

beweisen?

Vielen Dank erstmal Freude

07.04.2012, 22:04

Che Netzer

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RE: Abbildung von Mengen
Die Aufgabe musst du selbst lösen, wir helfen hier nur und "rechnen" nichts vor Augenzwinkern

Als Tipp:
Injektivität: Suche zwei (voneinander verschiedene) Zahlentupel $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ , für die der Funktionswert gleich ist.

Surjektivität: Suche zu einer gegebenen Zahl a ein Zahlentupel (x,y), sodass f(x,y)=a.

07.04.2012, 22:15

xtream55

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RE: Abbildung von Mengen
alles klar, danke. Hut ab vor deinem Wissen in deinem Alter! Lass krachen

08.04.2012, 11:16

xtream55

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RE: Abbildung von Mengen
Das mit der Surjektivität und dem Zahlentupel kann ich leider noch nicht.

Also eine gegebene Zahl a. nehme ich die aus der Menge A:={-1,1}?

Also a =-1 v a = 1

und wie lautet dann das Tupel? z.B für (x,y)=(-1,0)

und der Funktionswert an der Stelle f(-1), für a = -1 ?

08.04.2012, 11:54

Che Netzer

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RE: Abbildung von Mengen
Worauf möchtest du denn da hinaus?
Einen Funktionswert f(-1) gibt es nicht, du musst immer zwei Zahlen in die Funktion "einwerfen".

a sollte aus dem Bildbereich kommen. Man möchte ja zeigen, dass jede Zahl aus [-1,1] mindestens einmal angenommen wird. Daher gibt man für jede zahl a aus diesem Intervall eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und eine Zahl $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ suchen, sodass f(x,y)=a.

09.04.2012, 14:09

xtream55

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RE: Abbildung von Mengen
ich verstehs immer noch nicht, kannst du nicht bitte ein Beispiel machen. Dann kann ichs vielleicht nachvollziehen. Lg

09.04.2012, 14:13

Che Netzer

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RE: Abbildung von Mengen
Ich mache es an folgendem Beispiel: g(x,y)= x²+y. mit $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

Surjektivität: Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wähle (x,y)=(0,a). Dann ist g(x,y)=a. Es wird also jedes Element der Zielmenge angenommen, also ist die FUnktion surjektiv.

Injektivität: Wähle $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1)=(1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_2,y_2)=(-1,0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} (x_1y_1)\neq(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ . Es gibt also mindestens ein Element der Zielmenge, das mehr als einmal angenommen wird, die Funktion ist also nicht injektiv.

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