unbestimmte integrale korrektur und hilfe

08.04.2012, 12:02

chrlan

unbestimmte integrale korrektur und hilfe

Meine Frage:
habe folgende aufgabe:

es seien $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \sin\alpha x\cos\beta x dx, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \log(1+x^2)dx, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \arctan\sqrt x dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
bei der ersten habe ich das raus:

$\begin{eqnarray*} \int \sin\alpha x\cos\beta x dx=\frac 1 2\int\sin((\alpha-\beta)x)+\sin((\alpha+\beta)x)dx=\frac 1 2\left(\frac{1}{\alpha-\beta}\cdot(-\cos((\alpha-\beta)x)\right)-\frac{1}{\alpha+\beta}\cdot\cos((\alpha+\beta)x) \end{eqnarray*}$

ist das richtig? für die anderen beiden wäre es cool wenn mir jemand einen ansatz sagen könnte.

08.04.2012, 12:09

Mulder

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RE: unbestimmte integrale korrektur und hilfe
Frohe Ostern! smile

Das erste sieht schon mal gut aus (Integrationskonstante nicht vergessen!).

Erstmal zum zweiten: Partielle Integration (wie fast immer, wenn man da den ln alleine stehen hat):

$\begin{eqnarray*} \int 1 \cdot \ln(1+x^2) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Und zum letzten: Substituiere erstmal die Wurzel weg, würde ich sagen. Anschließend geht's auch wieder mit partieller Integration weiter.

08.04.2012, 13:08

chrlan

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man hat bei der letzten doch gar kein produkt stehen.
hab bei der zweiten bis hierhin:

$\begin{eqnarray*} \int\log(1+x^2)dx=x\cdot\log(1+x^2)-\int\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{1+x^2}dx \end{eqnarray*}$

das integral habe ich hier schonmal gepostet. krieg es nicht gelöst.

hier

08.04.2012, 13:34

Mulder

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Bei dem zweiten ist das, was du übrig behälst, doch ein völlig banales Grundintegral (und in dem von dir verlinkten Thread steht die Lösung dazu doch auch schon, du selbst hast sie dort reingeschrieben).

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2}{1+x^2} \, \dd x = 2 \int \left ( 1- \frac{1}{1+x^2} \right ) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Das ist auch was anderes als in dem von dir verlinkten Thread, weil der Term im Nenner in dem anderen Thread nochmal komplett im Quadrat auftaucht.

Zitat:

Original von chrlan
man hat bei der letzten doch gar kein produkt stehen.

Nun führ doch erstmal die Substitution durch, die ich dir nahelegt habe. Dann hast du auch ein Produkt vorliegen.

08.04.2012, 13:57

chrlan

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bei $\begin{eqnarray*} u=\sqrt x \end{eqnarray*}$
erhält man ja:
$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{2 \sqrt x}dx \end{eqnarray*}$

dann hat man das integral:

$\begin{eqnarray*} \int\arctan u\cdot 2 u du \end{eqnarray*}$

bei part. integration kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} (u^2\cdot \arctan u)-\int 1-\frac{1}{1+u^2}du=u^2 \arctan u-u+\arctan u + c \end{eqnarray*}$

resubs.:

$\begin{eqnarray*} x \arctan\sqrt x-\sqrt x+\arctan \sqrt x +c \end{eqnarray*}$

stimmt das?

bei dem anderen kommt dann das raus:

$\begin{eqnarray*} x\cdot \log (1+x^2)-2\cdot(x-\arctan x)+c \end{eqnarray*}$

stimmt das?

08.04.2012, 14:00

Mulder

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RE: unbestimmte integrale korrektur und hilfe
Das ist alles richtig, ja.

08.04.2012, 14:05

chrlan

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cool danke.
kannst du mir vllt noch erklären wie man hier den arcustangens substituieren soll? versteh das nämlich nicht...

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