Wert bestimmen damit Vektoren lin. abhäng.

08.04.2012, 12:14

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wert bestimmen damit Vektoren lin. abhäng.

Hallo alle,

ich habe ein Problem mit folgenden Aufgaben:

In einem kartesischen Koordinatensystem seien für jedes $\begin{eqnarray*} \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Punkte $\begin{eqnarray*} A_{\gamma} (-\gamma; -8; 1), B{\gamma} (4; -4; 2\gamma), C(0; -8; 4) \end{eqnarray*}$ gegeben.

a) Weisen Sie nach, dass diese drei Punkte für kein $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kollinear sind.
b) Ermitteln Sie alle Werte von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , für die die Ortsvektoren der drei Punkte ein LAS (linear abhängiges System) bilden!

Wie kann ich denn allgemein erstmal nachweisen, dass drei Punkte nicht kollinear sind?

08.04.2012, 12:23

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest z.B. zeigen, dass die Vektoren AB und AC keine Vielfachen voneinander sein können.

08.04.2012, 13:55

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also der Vektor AB ist ja dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4+\gamma \\ 4 \\ 2\gamma - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Vektor AC wäre dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da sieht man also an den beiden y-Koordinaten, dass die nicht linear abhängig sind oder? Denn ich müsste ja die y-Koordinate von AB mit 0 multiplizieren um auf die vom Vektor AC zu kommen.. Und das ist bei den anderen Koordianten ja aber nicht so..

Und wie mach ich dann b)? Also ich hab schon ein Gleichungssystem, aber irgendwie..weiß ich nicht weiter^^

08.04.2012, 14:43

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da sieht man also an den beiden y-Koordinaten, dass die nicht linear abhängig sind oder?

Genau.

Zitat:

Also ich hab schon ein Gleichungssystem, aber irgendwie..weiß ich nicht weiter

Ohne deine Gleichungen zu sehen und ohne zu wissen an welcher Stelle du nicht weiter kommst, kann man da relativ wenig zu sagen.

08.04.2012, 15:21

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt.

also. die Ortsvektoren sind ja erstmal:
OA= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\gamma \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
OB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ -4 \\2\gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
OC= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich $\begin{eqnarray*} r \cdot OA + s \cdot OB = OC \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} <br /> -\gamma \cdot r + 4s = 0<br /> -8r - 4s = -8<br /> r + 2\gamma \cdot s = 4<br /> \end{eqnarray*}$

ich weiß jetzt nicht, nach was ich umformen soll...

08.04.2012, 17:40

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte z.B. zunächst nur zwei der drei Gleichungen, löse dieses System in Abhängigkeit von gamma und mache dann die Probe mit der verbleibenden Gleichung.
Das wird dir genau zwei Werte für gamma liefern.
Übrigens wäre hier der Weg über die Determinante auch möglich und recht effizient gewesen (sofern man das behandelt hat).

Anzeige

08.04.2012, 21:02

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung I und II miteinander addieren? Und dann nach r umstellen?

08.04.2012, 22:01

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre ein sinnvoller Anfang.

08.04.2012, 23:21

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay..
$\begin{eqnarray*} -\gamma \cdot r - 8r = - 8<br /> r = \frac{8}{\gamma} + 1 \end{eqnarray*}$

dann wieder die erste gleichung:

$\begin{eqnarray*} -\gamma \cdot r + 4s = 0<br /> -\gamma \cdot (\frac{8}{\gamma} + 1) + 4s = 0<br /> -8-\gamma+4s = 0<br /> s= 2+\frac{\gamma}{4} \end{eqnarray*}$

und das dann in die dritte Gleichung einsetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{\gamma} + 1 + 2\cdot \gamma \cdot (2+\frac{\gamma}{4} ) = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\gamma²}{2} + 4 \cdot \gamma + \frac{8}{\gamma} + 1 = 4 \end{eqnarray*}$

stimmt das so erst mal?

08.04.2012, 23:25

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\gamma \cdot r - 8r = - 8<br /> r = \frac{8}{\gamma} + 1 \end{eqnarray*}$

Leider wurde bereits hier nicht richtig nach r aufgelöst.
Was da genau deine Gedanken waren, kann ich nicht erkennen.
Auf der linken Seite könnte man r zunächst mal ausklammern...

08.04.2012, 23:29

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

oh gott..ist schon spät, sorry Big Laugh

Big Laugh

also

$\begin{eqnarray*} -\gamma \cdot r - 8r = -8 \end{eqnarray*}$ | r ausklammern
$\begin{eqnarray*} r \cdot (-\gamma - 8) = - 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = \frac{-8}{-\gamma -8} \end{eqnarray*}$

08.04.2012, 23:37

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so sieht das gut aus, du kannst auch noch in Zähler und Nenner -1 ausklammern und wegkürzen, dann bist du die ganzen Minuszeichen los.
Joa und dann könnte man den Term für r in die erste Gleichung einsetzen, nach s auflösen und dann mit der dritten Gleichung die erwähnte Probe machen.

08.04.2012, 23:43

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

....sind die Ergebnisse dann 3 und -2?

08.04.2012, 23:46

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

08.04.2012, 23:47

bingomutzel

Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön ! =)

08.04.2012, 23:49

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr, viel Erfolg weiterhin. Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »