Elemente in der Potenzmenge

08.04.2012, 15:36

Taurus

Elemente in der Potenzmenge

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich muss folgendes Beispiel lösen

Wie viele Elemente hat die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3}\cap \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$

Das Beispiel an sich stellt eigentlich kein Problem dar...
Mein Problem ist nur das ich nicht weiß welche Elemente z.B.: in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ enthalten sind?

Meine Ideen:
Schaut die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ zum Beispiel so aus $\begin{eqnarray*} ={{0}{1}{2}{3}} \end{eqnarray*}$ aus?

Danke für eure Hilfe

08.04.2012, 15:44

Gast11022013

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Sagt Dir der Begriff "Restklassenring" etwas?

s. etwa hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring

(Dort findest Du exemplarisch auch alle Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ vorgeführt.)

Bilde dann den verlangten Schnitt und bedenke:

$\begin{eqnarray*} \vert M\vert=n\Rightarrow \left\vert\mathfrak{Pot}(M)\right\vert=2^n \end{eqnarray*}$ für eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

08.04.2012, 16:09

Taurus12345

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Hallo,

Danke für deine rasche Antwort.

Ja das ist mir schon klar.
in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ Elemente und in latex]\mathbb Z_{5} [/latex] sind $\begin{eqnarray*} 2^5 \end{eqnarray*}$ Elemente.

Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ wäre das dann $\begin{eqnarray*} \left\{\left\{ \right\} \left\{ 0\right\} , \left\{ 1\right\}, \left\{ 2\right\} , \left\{ 1,2\right\} \left\{ 0,1\right\} , \left\{ 0,2\right\} \left\{ 0,1,2\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Bei latex]\mathbb Z_{3} [/latex] natürlich analog.

Aber wieso sist in der Schnittmenge dann nur ein Elemnet? Zumindest sollte das laut Lsg. so sein?

08.04.2012, 16:18

Gast11022013

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Verstehe ich Deine Frage richtig:

Du willst wissen, wie viele Elemente die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3\cap\mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ hat?

Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Das, was Du aufgeschrieben hast, ist die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ .

08.04.2012, 16:33

Taurus

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Hallo Dennis2010,

Ja genau ich will wissen wie viele Elemente die Potenzmenge hat.

Die eine Potenzmenge hatte ich ja schon angeschrieben, die andere ist analog zu bilden.

Der Punkt den ich nicht verstehe ist der, da die Lösung angeblich nur ein Element enthält.

Meiner Meinung ist die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \cap \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$ dieselbe wie von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3}<br /> \end{eqnarray*}$ da ich ja bei einer Schnittmenge nur jene Element nehme die auch in beiden Mengen enthalten sind.

08.04.2012, 16:37

Gast11022013

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Mein Vorgehen wäre einfach, den Schnitt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3\cap\mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln und von dieser Menge dann die Potenzmenge.

Was kommt da heraus?

Edit 2: Wie lautet die Lösung denn, die Du meinst?

08.04.2012, 16:51

Taurus

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Jetzt hab ichs....

Die Potenzmenge enthält wirklich nur ein Element.
Da das Null, Eins und Zwei Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3}<br /> \end{eqnarray*}$ kein Element ist sondern selbst wieder eine Menge ist....eine Restklassenmenge und diese sind unterschiedlich

Das einzige was sie gemeinsam haben ist die leere Menge.

Trotzdem Danke für deinen Denkanstoß

edit:
Die Lösung laut meinem Skriptum ist die leere Menge, also ein Element

08.04.2012, 16:54

Gast11022013

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RE: Elemente in der Potenzmenge

Zitat:

Original von Taurus

Da das Null, Eins und Zwei Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3}<br /> \end{eqnarray*}$ kein Element ist sondern selbst wieder eine Menge ist....

Ich dachte, das sei mit dem Link, den ich gegeben habe, klar.

08.04.2012, 23:44

SusiQuad

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RE: Elemente in der Potenzmenge
Worüber sprecht ihr ?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \subset \mathbb Z_5 \Rightarrow \mathbb Z_3 \cap \mathbb Z_5 = \mathbb Z_3 \Rightarrow \mathfrak{P}(\mathbb Z_3 \cap \mathbb Z_5) = \mathfrak{P}(\mathbb Z_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sharp\mathfrak{P}(\mathbb Z_3 \cap \mathbb Z_5) = 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$

Oder hierüber?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \subset \mathbb Z_5 \Rightarrow \mathfrak{P}(\mathbb Z_3 ) \subset \mathfrak{P}(\mathbb Z_5 ) \Rightarrow \mathfrak{P}(\mathbb Z_3 ) \cap \mathfrak{P}(\mathbb Z_5 )= \mathfrak{P}(\mathbb Z_3 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sharp \left[ \mathfrak{P}(\mathbb Z_3 ) \cap \mathfrak{P}(\mathbb Z_5 ) \right]= 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$

Oder was anderes ?
Nur vom Verständnis ?

08.04.2012, 23:58

tmo

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Streng genommen ist (wenn damit die Restklassenringe gemeint sind) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \cap \mathbb Z_5 = \emptyset \end{eqnarray*}$

Das sind ja zwei völlig verschiedene Mengen, auch wenn wir in beiden ein Element z.b. 2 nennen...

Und das hat Taurus ja nun richtig erkannt und die Lösung hat es ja offensichtlich auch so gemeint.

edit: Selbst vom algebraischen Standpunkt aus (dass die Mengen nach ihrer Konstruktion aus mengentheoretischer Sicht disjunkt sind, ist eindeutig) ist nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \subset \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ , denn es gibt keinen injektiven Gruppen- geschweige denn Ringhomomorphismus.

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