Geradengleichung

22.01.2007, 16:50

Musti

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Geradengleichung

Hallo

Die Aufgabe bei der ich schwierigkeiten habe, lautet folgendermaßen:

Geben sie die Gleichungen für alle Geraden der Zeichenebene an, die
a) zur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse parallel sind und den Abstand $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ von der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse haben,
b) zur Winkelhalbierenden zwischen der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse und der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse parallel sind und den Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ von dieser Winkelhalbierenden haben.

Also irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht zurecht. Ein Ansatz lässt sich leider auch nicht so leicht finden.

Aber trotzdem hier meine Überlegungen:

zu a) der Richtungsvektor der Gerade muss proportional zum Richtungsvektor der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse sein. Als Stützvektor benötige ich einen, der mir den Abstand 2 von der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ _Achse ermöglicht.

Leider weiß ich nicht sorecht weiter.

Wäre nett wenn mir jmd helfen könnte.

Danke

22.01.2007, 16:52

sqrt4

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ich gebe jetzt einfach mal die allg. Gleichung einer Geraden an. Aus dem Text kannst du die einzelnen Werte ermitteln.

$\begin{eqnarray*} y=mx+t \end{eqnarray*}$

wobei m die Steigung der Geraden und t der y-Achsenabschnitt ist

Edit: upps die 2. Achse wird ja mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ bezeichnet, also das y durch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ersetzen

sollst das scheinbar auch eher analytisch lösen verwirrt

verwirrt

22.01.2007, 16:57

Musti

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Ich hab da eher an eine Parametergleichung gedacht, denn die Aufgabe lautet ja ich soll die Gleichungen aller Geraden der Zeichenebene angeben?!

Edit: Wir sind gerade neu bei Vektoren und ich bin mir relativ sicher, dass ich dies geometrisch lösen soll.

22.01.2007, 18:02

Musti

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Kann sich jmd. dieser Aufgabe widmen?

Edit: Ich muss die Aufgabe unbedingt bis morgen lösen!

kann mir wirklich niemand helfen?

22.01.2007, 19:50

Die Null in Mathe

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RE: Geradengleichung
Genau diese Aufgabe habe ich am Freitag aufbekommen und hab da auch so meine Probleme, wie in der ganzen Mathematik. verwirrt

verwirrt

Hammer

@Musti: Kommst du zufälligerweise aus Köln?

Naja wäre schön wenn man mit einem Ansatz helfen könnte.

Wink

Wink

22.01.2007, 19:53

mYthos

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a) .. wunderbar, nimm den Punkt (0;2) als Stützpunkt (der hat sicher den Abstand 2 von der x_1 - Achse) und dazu den Richtungsvektor (1;0) an.

b)

kannst du mit der Hesse'schen Normalform etwas anfangen?

mY+

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22.01.2007, 20:01

Musti

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@Die Null in Mathe

Ne ich komme nicht aus Köln.

@Mythos

Also heißt meine Parametergleichung $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Den Stützvektor kann ich noch nachvollziehen. Meine Frage zur a) wäre noch, ob ich den Richtungsvektor auch (x_1;0) nehmen könnte, also eine Beliebeige Zahl für die x-Komponente?

zu b) Ne, leider kann ich mit der Hesse'schen Normalform nichts anfangen. Geht es denn nicht die Aufgabe auch ohne diese Form zu lösen.

Danke für die Antwort

Gruß Musti

22.01.2007, 20:47

mYthos

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Da der Parameter s jede beliebige Zahl sein kann, ist es obsolet, den Richtungsvektor ebenfalls zu variieren. Daher nimmt man diesen - schon im Interesse einer einfachen Darstellung - immer möglichst einfach an. Aber es spricht auch nichts weiter gegen (33; 0) oder -8234,54; 0 smile

smile

b)

Welchen Winkel schließt die gesuchte Gerade (übrigens gibt es deren zwei) mit der x-Achse ein? Daher hat sie welche Steigung? (m = ?) Skizziere dies einmal, lege die Normale vom Nullpunkt auf diese. Die Länge dieser Normalen (der Abstand des Nullpunktes) von der gesuchten Gerade) ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ . Mit der x_1 bzw. x_2 - Achse und der Geraden bildet diese rechtwinkelige Dreiecke mit weiteren besonderen Winkeln. Dadurch kannst du den Schnittpunkt der Geraden mit den Achsen leicht angeben. Mit der Steigung m (= ?) ist/sind die Gerade/n geboren.

mY+

22.01.2007, 20:54

Musti

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Alles klar ich muss erst einmal alles verarbeiten.

Danke Mythos

Falls wieder Fragen auftauchen, werde ich diese stellen.

Gruß Musti

22.01.2007, 21:18

Musti

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Die gesuchte Gerade schließt mit der x-Achse einen Winkel von $\begin{eqnarray*} 45° \end{eqnarray*}$ ein?!

Daraus ergibt sich die Steigung $\begin{eqnarray*} m=tan(45°)=1 \end{eqnarray*}$ und wir hätten einen Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r}= \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der gesuchten Gerade?!

Wenn bishierhin alles richtig ist wäre das erfreulich. Aber ich weiß nicht was du mit den nächsten Schritten meinst. Hammer

Hammer

Sorry

Musti

22.01.2007, 21:41

mYthos

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So, bis dahin passt es. Jetzt musst den Abstand unterbringen. Die Abschnitte der Geraden auf den Achsen bilden wegen des 45° - Winkels ein Quadrat, dessen halbe Diagonale der Abstand ist. Daraus kannst du z.B. den Abschnitt auf der x_1 - Achse bestimmen (-> Punkt der Geraden auf der x_1 - Achse).

mY+

22.01.2007, 21:53

Musti

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Mist!

Ich habs mir mal als Skizze gezeichnet, erkenne aber das Quadrat nicht.

Wie komm ich übrigens an die Diagonale dran? Etwa mit dem Satz des Pythagoras.

Also verstehe ich das richtig? Die Schnittpunkte der Geraden mit den Achsen bilden ein Quadrat?

Kann auch sein dass ich dich falsch verstanden habe.

Gruß Musti

22.01.2007, 22:07

mYthos

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Ein halbes Quadrat (Seitenlänge = 1, jetzt verrate ich's dir halt, aber ungern!), dann hat die Gerade den geforderten Abstand.

mY+

22.01.2007, 22:11

Musti

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Also sind meine beiden Geraden

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\\sqrt{2} \\ \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

Edit: verbessert

22.01.2007, 23:15

mYthos

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Hast du nun kontrolliert, wie groß der Abstand dieser Geraden zum Nullpunkt und damit zur 1. Mediane ist? Es ist leider nicht jener, wie er lt. Angabe sein soll. unglücklich

unglücklich

Ich hatte dir ja bereits verraten, dass der Punkt (1;0) ein Punkt dieser Geraden sein muss. Der andere wird wohl (-1;0) lauten.

Die Geraden daher

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeichne dir bitte jetzt nochmals die Verhältnisse auf, vor allem die Sache mit dem Quadrat, dann wird dir wahrscheinlich ein Licht aufgehen. smile

smile

mY+

23.01.2007, 16:03

Musti

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Alles klar!

Jetzt ist mir das mit dem Quadrat klargeworden.

Was ich nicht verstehe ist, woher du wusstest dass (1;0) ein Punkt der Geraden ist.

Im Nachinein ist das ja verständlich, aber wie du vorher auf den Punkt (1;0) bzw. (-1;0) kommst nicht.

Wäre dankbar wenn du das nochmal erläutern würdest.

Danke Musti

23.01.2007, 16:08

TommyAngelo

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wieso denn so kompliziert, einfach:

1. $\begin{eqnarray*} y=\pm2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} y=x\pm\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

23.01.2007, 16:35

Musti

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Wir sind bei einer Parametergleichung!

Außerdem geht es mir nicht mehr um die Lösung, sondern darum, wie man an den Punkt (1;0) rangekommen ist.

23.01.2007, 16:51

mYthos

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Zitat:

Original von TommyAngelo
wieso denn so kompliziert, einfach:

1. $\begin{eqnarray*} y=\pm2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} y=x\pm\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

@Tommy, du bringst da was durcheinander; das ist jetzt mal einfach schlicht und ergreifend falsch! Die Gleichungen der Geraden heissen

y = x + 1 und y = x - 1

______________________________

Warum das mit dem Quadrat so ist und wie man auf die Abschitte auf den Achsen kommt, habe ich euch schon mehrmals erklärt! Gleichschenkelig-rechtwinkeliges Dreieck mit der Spitze in O, Basis ist die gesuchte Gerade, Höhe ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , daher ist die Länge der Basis $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und die zugehörige Kathete (Quadratseite) = 1.

Nachdem das in Worten offenbar nicht so klar ist, werd' ich später dann noch eine Skizze nachsenden.

mY+

23.01.2007, 17:00

Musti

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Ja wäre schön wenn du später dazu eine Skizze machen könntest.

Ich danke dir für deine Mühe Mythos

Gruß Musti

23.01.2007, 18:14

mYthos

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Skizze zu

Parallele Geraden (g1, g2) zu m1 im Abstand $\begin{eqnarray*} d = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

23.01.2007, 18:27

Musti

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Dankeee Mythos! smile

smile

Jetzt weiß ich wie du an die Seitenlänge 1 gekommen bist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+a^2}= \sqrt{2a^2}= \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

Recht vielen dank!

Musti

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