Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

08.04.2012, 19:42

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Guten Abend.

Ich hoffe ihr könnt mir bei einigen Aufgaben helfen.

Aufgaben:

http://www7.pic-upload.de/06.04.12/g1pzo8jl8dfz.png

Eine Frage vorher:

Für Stetigkeit muss ja gelten - $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$
Anschaulich ist es doch so, dass wenn ich eine Stelle auf Stetigkeit überprüfe, dass der Grenzwert von links mit dem Grenzwert von rechts übereinstimmen muss.

Muss ich deswegen den Grenzwert nicht separat berechnen, also:

Von links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$
Von rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ eigentlich?
Der Grenzwert von links, von rechts...?

08.04.2012, 19:45

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ja, die Grenzwerte von beiden Seiten müssen übereinstimmen. Außerdem müssen sie dem Funktionswert an der Stelle, an die du dich annäherst, entsprechen.

Zur Bedeutung: Egal wie man sich an $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ annähert, $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert dann immer gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Man könnte ja auch abwechselnd von der einen Seite auf die andere springen und dem Grenzwert dann trotzdem immer näher kommen.

In Bezug auf die Aufgaben: Da sollst du (bei den entsprechenden Fragen) tatsächlich jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen.

mfg,
Ché Netzer

08.04.2012, 20:04

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Okay, danke Che Netzer.

Dann fangen wir mal an.

Aufgabe 4:

a)

$\begin{eqnarray*} \vert x-3\vert=\begin{cases}-x+3&\text{ für }x\leq 3\\x-3&\text{ für }x>3\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun prüfe ich den Grenzwert von links und rechts:

Links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} -x+3 = 0 \end{eqnarray*}$

Rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+} x-3 = 0 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert von links stimmt mit dem Grenzwert von rechts überein, daher ist die Funktion an der Stelle x=3 stetig.

Richtig?

08.04.2012, 20:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Genau Freude

Freude

Hier die Funktion als Grafik:

08.04.2012, 20:33

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Super, das freut mich, vielen Dank smile

smile

Aufgabe 4:

b)

Nun prüfe ich wieder den Grenzwert von links und rechts:

Links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2-}\frac{5}{x} + 1 = -1.5 \end{eqnarray*}$

Rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2+} x^2+x-1= 1 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert von links stimmt nicht mit dem Grenzwert von rechts überein, daher ist die Funktion in x = -2 nicht stetig.

Aufgabe 6:

a)

Der Grenzwert von links entspricht 2, daher muss auch der Grenzwert von rechts 2 entsprechen und deshalb muss t 1 sein.

Reicht das, oder muss man das mathematisch mit Rechnungen beweisen?

b)

Verstehe ich jetzt gar nicht, soll ich wieder für t einen Wert finden? Oder einen Wert in Abhängigkeit von t?

08.04.2012, 20:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4b) stimmt

6a auch. Hier könntest du höchstens noch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1^+}x^2+t=1+t \end{eqnarray*}$ ist und dass dieser Grenzwert ja 2 sein soll...

6b: Ja, hier sollst du auch t so wählen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to t^+}(2x-t)=\lim_{x\to t^-}x^2-2tx \end{eqnarray*}$

Anzeige

08.04.2012, 21:09

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Aufgabe 6:

b)

Okay, wenn x also gegen t läuft müsste es so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to t^+}(2x-t)=\lim_{x\to t^-}x^2-2tx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t - t = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2-2t^2 = -t^2 \end{eqnarray*}$

Und nun muss ich einen Wert für t finden, damit die Gleichung erfüllt ist, oder?

$\begin{eqnarray*} t = -t^2 \end{eqnarray*}$

Und das ist auch nur für t=1 erfüllt.

verwirrt

verwirrt

08.04.2012, 21:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Nein:
$\begin{eqnarray*} 1\neq-1^2 \end{eqnarray*}$
Es gibt aber zwei Werte für t, bei denen t=-t² erfüllt ist, such die mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

[quadratische Gleichung lösen. Tipp: Die p-q-Formel brauchst du nicht]

08.04.2012, 22:03

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein:
$\begin{eqnarray*} 1\neq-1^2 \end{eqnarray*}$

Warum?

$\begin{eqnarray*} -1^2 = -1 \cdot -1 = 1 \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

08.04.2012, 22:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Jein, es ist ja nicht t=(-t)², sondern t=-t². Und -t² ist nicht (-t)*(-t), sondern -(t*t).
Der Exponent bezieht sich nur auf das, war direkt unter ihm steht, nicht auch noch auf das Vorzeichen, solange da keine Klammer steht.

Ansonsten wäre ja $\begin{eqnarray*} x^2-x^2=x\cdot x+(-x)\cdot(-x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ , was ja offenbar Unsinn ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Aber selbst dann gäbe es noch eine zweite Lösung)

08.04.2012, 23:06

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ah okay, habe etwas umgeformt und bin dann auf 0 und -1 gekommen smile

smile

Aufgabe 7:

a)

$\begin{eqnarray*} x \cdot \vert x\vert=\begin{cases}x^2&\text{ für }x\geq 0\\-x^2&\text{ für }x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich einmal ableiten und dann den Grenzwert von links und rechts betrachten.

Rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} 2x = 0 \end{eqnarray*}$

Links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} -2x = 0 \end{eqnarray*}$

Die Tangenten links und rechts von 0 besitzen die gleiche Steigung ( 0 ) und daher ist die Stelle x_0 = 0 differenzierbar.

Oder?
War jetzt meine erste Aufgabe zur Differenzierbarkeit.
Bin ich richtig vorgegangen?

08.04.2012, 23:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ja, 0 und -1 stimmen für t.

Zu Aufgabe 7: Stimmt auch soweit. Wobei ich noch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0^+}f'(x) \end{eqnarray*}$ etc. davorgeschrieben hätte, zur Übersichtlichkeit. Und der Satz mit der Tangente klingt auch etwas seltsam. Aber den braucht man eigentlich auch gar nicht, das reicht schon, wenn man sagt/zeigt, dass die Ableitungen den gleichen Grenzwert besitzen.

Hier noch eine Grafik:

08.04.2012, 23:40

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Super, vielen Dank nochmal smile

smile

Zitat:

Und der Satz mit der Tangente klingt auch etwas seltsam.

Wie hättest du es formuliert?

b)

$\begin{eqnarray*} \vert x\vert \cdot (x-3) =\begin{cases}x^2-3x&\text{ für }x\geq 3\<br /> \-x^2+3x&\text{ für }x<3\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun prüfe ich die Steigung der Tangenten von links und rechts:

Links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} f'(x) = -2x+3 = -3 \end{eqnarray*}$

Rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+} x-3 = 2x-3 = 3 \end{eqnarray*}$

Die Funkion ist an der Stelle x=3 nicht differenzierbar.

c)

Nun prüfe ich die Steigung der Tangenten von links und rechts:

Links: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1-} f'(x) = -2x = -2 \end{eqnarray*}$

Rechts: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1+} x-3 = 2x = 2 \end{eqnarray*}$

Die Funkion ist an der Stelle x=1 nicht differenzierbar.

08.04.2012, 23:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von blu3.Eye

Zitat:

Und der Satz mit der Tangente klingt auch etwas seltsam.

Wie hättest du es formuliert?

Gar nicht

Big Laugh

Zu 7b:
Wieso untersuchst du, ob x größer/kleiner als 3 ist? Spielt das für |x|(x-3) wirklich eine Rolle oder wäre die Stelle 0 da nicht sinnvoller? Augenzwinkern

Augenzwinkern

7c:
In der zweiten Zeile meintest du wohl f(x) statt x-3, aber das Ergebnis stimmt.

Nur solltest du nach Grenzwertbetrachtung nicht mehr x schreiben.

09.04.2012, 00:01

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zitat:

Wieso untersuchst du, ob x größer/kleiner als 3 ist? Spielt das für |x|(x-3) wirklich eine Rolle oder wäre die Stelle 0 da nicht sinnvoller?

Ich dachte man macht die Fallunterscheidung um eine Funktionen zu bestimmen, die den Teil vor und hinter dem zu untersuchenden Punkt beschreiben.
Sodass man von links und rechts an der Punkt herankommt bzw. den Grenzwert bilden kann.

Frage 1.Wie ist das beabsichtigt?

Frage 2.Und ist 7b dadurch falsch?
Denn die Funktionen beschreiben die Teile doch.

09.04.2012, 00:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Für |x|(x-3) müsste/könnte man tatsächlich eine Fallunterscheidung vornehmen. Aber überleg mal, an welcher Stelle der Betrag von x eine Rolle spielt.

09.04.2012, 00:42

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Also ich bin noch immer überzeugt, dass es 3 ist. verwirrt

verwirrt

Denn für x größer 3 ist der Wert in der Klammer positiv.
Und für x kleiner 3 ist der Wert in der Klammer negativ.

Worauf genau willst du hinaus?

09.04.2012, 00:45

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Der Wert in der Klammer ist negativ, wenn x kleiner als 3 ist. Aber um die Klammer sind ja keine Betragsstriche gesetzt. Die sind nur um das x und daher spielen die auch nur an der Stelle 0 eine Rolle.

Die Fallunterscheidung brauchst du hier gar nicht.

Edit: Ach ja, ich gehe dann jetzt wohl auch schlafen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.04.2012, 00:55

blu3.Eye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zitat:

Aber um die Klammer sind ja keine Betragsstriche gesetzt. Die sind nur um das x und daher spielen die auch nur an der Stelle 0 eine Rolle.

Wieso spielen die Betragsstriche an der Stelle 0 eine Rolle?

An der Stelle 0 spielen die Betragsstriche doch gerade keine Rolle, denn da wird in der Funktion mit 0 multipliziert und deshalb ist es doch egal, wenn da Betragsstriche gesetzt wurden.

$\begin{eqnarray*} f(x) = |x| \cdot (x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \cdot (-3) = 0 \end{eqnarray*}$

Frage:
Und wenn ich keine Fallunterscheidung mache, wie soll ich mich dann von links und von rechts annähern?

09.04.2012, 11:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Rechts von der Stelle Null ist die Funktion x*(x-3). Links von der Stelle 0 ist sie -x*(x-3). Um die 3 herum spielt der Betrag also keine Rolle, da ist die Funktion auf beiden Seiten gleich.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »