Finanzmathematik - Rentenrest

09.04.2012, 05:11

Mausal12

Finanzmathematik - Rentenrest

Meine Frage:
Ich weiß nicht wie ich den Rentenrest ausrechnen soll, besser gesagt wie ich auf die Monate komme..

gibt es da einen Unterschied bei vorschüssigen, nachschüssigen Jahresraten?

Bsp. 1.)
sofort beginnende, vorschüssige Jahresraten..
letzte volle Rate= 6
Wie groß ist der Rentenrest gleichzeitig mit der letzten Rate? und wie groß ist er 1 Jahr nach der letzten Rate?

Bsp 2.) sofort beginnende, nachschüssige Jahresraten..
letzte volle Rate= 15
Wie groß ist der Rentenrest gleichzeitig mit der letzten Rate? und wie groß ist er 1 Jahr nach der letzten Rate?

Bsp 3.) in 2 Jahren beginnende, vorschüssige Jahresraten
letzte volle Rate= 9
Wie groß ist der Rentenrest gleichzeitig mit der letzten Rate? und wie groß ist er 1 Jahr nach der letzten Rate?

Meine Ideen:
Laut Lösung muss ich diese Hochzahlen (Monate) nehmen..

gleichzeitig mit d. letzten Rate:
blablabla.. + Rentenrest* v^5
Meine Idee wie man drauf kommt, wäre:
--> (6-1)--> also die letze volle Rate - 1

1 Jahr nach der letzten Rate:
.... + Rentenrest * v^6 --> (die volle Rate für die Hochzahl nehmen?)

Beispiel 2.)

gleichzeitig mit der letzten Rate:
.... + Rentenrest * v^15 ( weil es nachschüssige Jahresraten sind nehme ich einfach die volle Rate?)

1 Jahr nach der lettzen Rate:
.... + Rentenrest * v^16 ( die volle Rate + 1 -> ergibt 16?

Bsp 3.)

gleichzeitig mit der letzten Rate:
.... +Rentenrest*v^10 -> (9+1) .... aber wieso?, kommt man in diesem Fall überhaupt so auf ^10 ???

1 Jahr nach der letzten Rate:
.... +Rentenrest*v11 --> (wie rechnet man das hier?)

Stimmen meine Ideen überhaupt??

09.04.2012, 22:56

Kasen75

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Hallo,

ich schreib erst mal die Formeln auf, von denen ich vermute, die ihr benutzt (inkl. formaler Herleitung):

Barwert vorschüssige Rente:

$\begin{eqnarray*} R_0 = r + r \cdot v + r \cdot v^2 + ... + \textcolor{red}{ r \cdot v^{n-1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v \cdot R_0 = r \cdot v + r \cdot v^2 + ... + r \cdot v^{n-1} + r \cdot v^{n} \end{eqnarray*}$

Erste minus zweiter Gleichung:
$\begin{eqnarray*} R_0 - v \cdot R_0 = r - r \cdot v^n \end{eqnarray*}$
Ausklammern:
$\begin{eqnarray*} R_0 \cdot (1 - v) = r(1-v^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot \frac{1-v^n}{1-v} \end{eqnarray*}$

Der $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{rot} \end{eqnarray*}$ -gefärbte Ausdruck der ersten Zeile ist die letzte Rate. Insofern ist der Barwert der letzten Rate einer vorschüssigen Rente: $\begin{eqnarray*} r \cdot v^{n-1} \end{eqnarray*}$

Bei der nachschüssigen Rente ist es so:
$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot v + r \cdot v^2 + ... + r \cdot v^{n-1} + \textcolor{green}{ r \cdot v^{n}}= \textcolor{blue}{v} \cdot ( \textcolor{blue}{r} + r \cdot v + ... + r \cdot v^{n-2} + \textcolor{black}{ r \cdot v^{n-1}}) \cdot \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v \cdot R_0 = r \cdot v^2 + r \cdot v^3 + ... + r \cdot v^{n} + r \cdot v^{n+1}= \textcolor{blue}{v} \cdot ( r \cdot v + ... + r \cdot v^{n-2} + r \cdot v^{n-1} + \textcolor{blue}{ r \cdot v^{n}}) \cdot \end{eqnarray*}$

Wenn man die 2. der beiden letzten Gleichungen von der 1. der beiden letzten Gleichungen abzieht:

$\begin{eqnarray*} R_0 - v \cdot R_0 = \textcolor{blue}{v \cdot r - v \cdot r \cdot v^n} \end{eqnarray*}$
Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} R_0 \cdot (1-v) = r \cdot v \cdot (1-v^n) \end{eqnarray*}$
Nach R_0 aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} R_0=r \cdot v \cdot \frac{1-v^n}{1-v} \end{eqnarray*}$

Die letzte Rate ist, wie man aus der Formel oben (grün) erkennen kann: $\begin{eqnarray*} r \cdot v^n \end{eqnarray*}$

Ich würde es also genau umgekehrt machen. Die nachschüssige Rente wird ja auch später ausgezahlt. Also hat sie einen geringeren Barwert, als eine vorschüssige Rente.

Vielleich habe ich die Aufgabe auch falsch verstanden. Wäre gut wenn du sie noch mal genauer erläutern würdest.

Mit freundlichen Grüßen.

10.04.2012, 06:58

Mausal12

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Wie man die letzte Rate ausrechnet habe ich bereits verstanden..

Doch meine eigentliche Frage bezieht sich auf den Rentenrest.

Gemeint ist damit->

wenn ich zb die Formel habe:

(B)nachschüssig=R*v*((v^n-1)/v-1)) + Rentenrest *v

in diese Formel setze ich dann die letzte volle Rate= 15 ein.

(B)nachschüssig=R*v*((v^15-1)/v-1)) + Rentenrest *v

und wenn ich jetzt zb noch den Rentenrest ein Jahr nach der letzten Rate brauche, muss ich da auch noch einsetzen

(B)nachschüssig=R*v*((v^n-1)/v-1)) + Rentenrest *v

Rentenrest in diesem Fall 1 Jahr nach der letzten Rate=
(B)nachschüssig=R*v*((v^15-1)/v-1)) + Rentenrest *v^16

Und meine Frage lautet jetzt wie geschieht das wenn ich den Rentenrest (vorschüssig) brauche oder wie hoch der Rentenrest gleichzeitig mit der letzten Rate (vorschüssig, nachschüssig) ist.. wie komme ich auf diese Monate ..

gibt es da irgendwelche Unterschiede, Tricks, die ich verwenden kann?

10.04.2012, 17:03

Kasen75

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Hallo,

ich bin mir immer noch sicher welche Aufgabenstellung du meinst. Am Besten du stellst mal eine komplette Aufgabe rein. Damit sind wir sicher, dass wir über das gleiche Reden.

Ich stell mir die Aufgabenstellung so vor:

Man will eine Rente von 50.000. Dieser Rentenanspruch ergibt sich aus der Einzahlung des Betrages von $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ (hier: 500.000) hat.
Sonst noch gegeben: i=0,04

Daraus soll berechnet man die Laufzeit $\begin{eqnarray*} \tilde{n} \end{eqnarray*}$ . Ich denke die Formel kennst du. Diese Laufzeit ist in der Regel keine ganze Zahl. Das ist dann $\begin{eqnarray*} \tilde{n} \end{eqnarray*}$ =12,38 Jahre. Dann kann man die Monate ungefähr so bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 1 \ Jahr \widehat{=} \ 12 \ Monate<br /> 0,38 \ Jahre \ \widehat{=} \ x \end{eqnarray*}$
Einfacher Dreisatz: x = 4,56 Monate

In einer Klausur sollte es besser aufgehen.

Jedoch braucht man für die Bestimmung der Restrente keine exakte Laufzeit. Hat man 50.000 eingezahlt und bezieht ein eine Rente (vorschüssig) von 50.000 bei einem Zinsatz von $\begin{eqnarray*} i=4% \end{eqnarray*}$ dann ist die Restrente im Jahr 13:

$\begin{eqnarray*} K_0\cdot q^{n} - r \cdot q \cdot \frac{q^{n}-1}{i}=500.000 \cdot 1,04^{12} - 50.000 \cdot 1,04 \cdot \frac{1,04^{12}-1}{0,04}= 800.516,11 - 781.341,88<br /> = 19.174,23 \end{eqnarray*}$

Das wäre bei einer vorschüssigen Rente der Restbetrag der im 13. Jahr ausgezahlt wird. Zahlt man den Restbetrag ein Jahr früher muss man ihn noch mit v multiplizieren und zu die 50.000 dazu zählen.

Ich weiß wirklich nicht, ob die Aufgabenstellung um dies es dir geht, richtig interpretiert habe. Wie gesagt, zeig mir mal eine vollständige Aufgabenstellung.

Du schreibst:

Zitat:

Rentenrest in diesem Fall 1 Jahr nach der letzten Rate=
(B)nachschüssig=R*v*((v^15-1)/v-1)) + Rentenrest *v^16

Das stimmt so nicht. Der Rentenrest wird ja um ein Jahr nach hintenverlegt. Wenn Formel stimmt, dann so:
R*v*((v^15-1)/v-1)) + Rentenrest
Der Rentenrest wird nicht mehr mit v multipliziert. Also der Rentenrest ist größer, wenn er jetzt ein Jahr später ausgezahlt wird.

Ich freue mich auf weitere Erläuterungen, Fragen und vor allem Aufgaben (mit Lösungsansatz) von Dir.

Mit freundlichen Grüßen.

10.04.2012, 21:12

Mausal12

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Hier ein Beispiel:

Ein Kredit von 60.000 € wird durch sofort beginnende vorschüssige Jahresraten in der Höhe von 10.000 € bei einem Zinssatz von 5,2% zurückbezahlt.
Die letzte volle Rate beträgt 6. Frage: Wie groß ist der Rentenrest gleichzeitig mit der letzten Rate?

Der Rechenweg laut Lösung: (RR gleichzeitig mit der letzten Rate)60.000 =(((10.000*(v^6-1)/(v-1)))+RR*v^5

Zusätzlich gehört das noch umgeformt damit ... =RR*v^5 steht

Du sagst:

Zitat:

Das weiß ich nicht.. Wir haben das immer so in der Schule gemacht und bei den Übungen kommt auch das richtige raus.

So..und meine Frage: woher kommen die ^5

Ich bin draufgekommen, dass man die letzte volle Rate -1 Rechnen muss.. also 6-1 ergibt 5 aber wieso das so ist, weiß ich bis jetzt noch nicht.

Bei diesem Bsp zum bsp:

Ein Kredit von 80.000 € wird durch sofort beginnende, nachschüssige Jahresraten in der Höhe von 8000 € bei einem Zinssatz von 5,8% zurückbezahlt.
Letzte volle Rate= 15.
Wie groß ist der Rentenrest gleizeitig mit der letzten Rate?

Da darf man -1 nicht von der vollen Rate abziehen..
Wieso darf ich das hier nicht und oben schon? Das war eigentlich meine Frage.. wo der Unterschied ist.

11.04.2012, 13:09

Kasen75

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Hallo,

ich schreib mal die Herleitung für die Formel mit Rentenrest auf. Es wird davon ausgegangen, dass der Rentenrest mit der letzten vollen Rentenzahlung ausgezahlt wird.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{R_0} = \textcolor{blue}{r} + r \cdot v + r \cdot v^2 + ... + r \cdot v^{n-1}+ \textcolor{blue}{ RR \cdot v^{n-1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{v \cdot R_0} = r \cdot v + r \cdot v^2 + ... + r \cdot v^{n-1} +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textcolor{blue}{ r \cdot v^{n}+RR \cdot v^n} \end{eqnarray*}$

In der ersten Gleichung steht, dass der Rentenrest (RR) mit der letzten Rate ausgezahlt wird.
Bei der zweiten Gleichung wird die ganze Gleichung mit v multipliziert.

Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten Gleichung ergibt:

$\begin{eqnarray*} R_0 - v \cdot R_0 = r + RR * v^{n-1} - r \cdot v^{n} - RR \cdot v^n \end{eqnarray*}$
umgestellt
$\begin{eqnarray*} R_0 - v \cdot R_0 = r - r \cdot v^{n} + RR * v^{n-1} - RR \cdot v^n \end{eqnarray*}$
jeweils R_0, r und RR ausklammern.

$\begin{eqnarray*} R_0 \cdot (1-v) = r \cdot (1 - v^{n}) + RR * v^{n-1} \cdot (1 - v) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray*} (1-v) \end{eqnarray*}$ teilen. Auf der linken Seite fällt es einfach weg. Genauso bei dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} RR * v^{n-1} \cdot (1 - v) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot \frac{1-v^n}{1-v} + RR \cdot v^{n-1} \end{eqnarray*}$

Die Formel kann man auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot \frac{v^n-1}{v-1} + RR \cdot v^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 60.000 = 10.000 \cdot \frac{1-v^6}{1-v} + RR \cdot v^{6-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 60.000 = 10.000 \cdot \frac{1-v^6}{1-v} + RR \cdot v^{\textcolor{red}{5}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

So..und meine Frage: woher kommen die ^5

Ich hoffe, dass die Frage damit beantwortet ist.

Zitat:

Zusätzlich gehört das noch umgeformt damit ... =RR*v^5 steht

$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot \frac{v^n-1}{v-1} + RR \cdot v^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_0 - r \cdot \frac{v^n-1}{v-1} = RR \cdot v^{n-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

.....nachschüssige Rente...
Da darf man -1 nicht von der vollen Rate abziehen..

Welche Formel hast du denn da? Für nachschüssige Rente und bei gleichzeitiger Auszahlung von letzter vollen Rate und Rentenrest habe ich:

$\begin{eqnarray*} R_0 = r \cdot v \cdot \frac{1-v^n}{1-v} + RR \cdot v^n \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht einige Fragen zu beantworten. Wenn dir noch was unklar ist bitte posten.

Mit freundlichen Grüßen

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