charakteristische Polynom, Spur

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1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristische Polynom, Spur
Einen wunderschönen guten Morgen alle zusammen,

Meine Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und die Matrixdarstellung von f bzgl. einer Basis.

Zeigen sie für das charakteristische Polynom und die Spur , dass:

.

Meine Idee:

Ich weiß das ich die Leibnizformel verwenden muss.

Leider weiß ich nicht wie ich diese auf anwenden kann.

Vill könnte mir jemand in diesem Punkt helfen.

Vielen Dank im Vorraus smile
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir überlegen, wieviele Summanden in der Leibnizformel enthalten... und wieviele
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Das einzige was ich weiß ist, dass es n! Sumannden geben muss, da es n! Permutationen gibt.

Ich habe verstanden, wie ich eine Determinante einer 3x3 Matrix berechne, leider kann ich dies nicht übertragen.

Stimmt es, dass bei der Permutation der Summand ergibt?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

"Permutationen" ist schon mal gut...

Die Lambdas kommen nur in den Einträgen vor, und zwar genau einmal pro Eintrag ().
Welche Permutation liefert dir zu jedem i diesen Eintrag? ----> Welchen Wert hat sgn?
Was ist der Wert des zugehörigen Summanden in der Leibnizformel?

Tipp: es gibt nur eine solche Permutation!
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ok neuer Versuch smile

Bei der Permutation ergibt der Summand:



Aber warum kommt hier die Spur in Spiel?

Edit: Kann ich einfach ausklammern?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt schonmal. Allerdings solltest du wirklich besser schreiben:


Außerdem musst du erwähnen, dass sgn(id)=1 ist.

Der Trick besteht nun darin, auch noch eine Aussage über das .... in dieser Rechnung zu machen. Wie lautet denn der Term, der Lambda in der n-1 -ten Potenz beinhaltet?
 
 
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ich noch ausklammern können. Und da in der Klammer gerade steht, ist dies die Spur.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Die Frage ist jetzt blos, ob es noch andere Permutationen gibt, bei denen der zugehörige Summand der Leibnizformel einen Term mit Lambda^(n-1) ausspuckt.

(Tatsache ist, es gibt keinen, aber eine Begründung brauchst du trotzdem noch)
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es nicht geben, da jede nicht-triviale Permutaion midestens 2 Elemente vertauscht, die Potenz des Lambdas also maximal n-2 sein kann.

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe, bis bald Augenzwinkern
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Jawoll! Freude

Gern geschehen! Wink
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