Werte von Reihen

Neue Frage »

06.07.2004, 09:47	klist	Auf diesen Beitrag antworten »
Werte von Reihen Hallo Zusammen kann mir jemand erklären, wie ich mich der folgenden Aufgabe nähere? Für -1<x<1 berechne man die Werte der folgenden Reihe \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n}x^{n-1} besten dank klist
06.07.2004, 10:04	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n}x^{n-1} \end{align}$ Was funktionieren könnte ist die Folge der partialSummen aufzustellen, und dann den grenzwert berechnen, allerdings sieht das teil gemein aus, da weiß ich nicht ob das soviel sinn ergibt.
06.07.2004, 11:36	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihe umgeformt ist $\begin{align} \sum_0^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)}x^n \end{align}$ Das sagt mir, dass vielleicht irgendwas mit einem Logarithmus rauskommen wird. Ich arbeite noch dran und editiere dieses Posting entsprechend. EDIT: $\begin{align} \frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \end{align}$ Also haben wir die Reihe (nach Aufspalten der Summe, welches ja geht weil alle drei Reihen konvergieren) $\begin{align} \sum_0^\infty \frac{x^n}{n+1} - \sum_0^\infty \frac{x^n}{n+2} \end{align}$ EDIT2: Die beiden Teilreihen rechnet man getrennt aus. Mit entsprechender Indexverschiebung und "Vorziehen" von 1/x bzw. 1/x^2 kommt man dann zur Reihe $\begin{align} \sum_1^\infty \frac{x^n}{n} = -ln(1-x) \end{align}$ , bei der zweiten Summe muss man beachten, dass die Reihe erst bei n=2 beginnt (also hier den ersten Summanden ergaenzen und wieder abziehen).
06.07.2004, 12:11	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
bin ich jetzt doof... $\begin{align} n^2 + n = (n+1)(n+2) ??? \end{align}$ Oder hast du mit irgendwas erweitert? Bei mir is (n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 ...hm??? edit whoops du hast ja den Index veringert ... alles klar :P
06.07.2004, 12:16	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss, ich mach auch mal Fehler. Aber wieso postet "ihr" (weils da mehrere gibt g) denn immer, dass da ein Fehler ist, wo gar keiner ist?! Ihr versteht mich nicht mehr... Liegt es an dem "Irr" in meinem Namen oder an meiner undeutlichen Aussprache? EDIT: Wenn ich Fehler mache, dann sind es solche Fehler wie "1+1 = 0 in den reellen Zahlen" oder sonstigen Bloedsinn. Da gibts viel Naehrboden bei mir... Ich hoffe, dass ist mir oben aber nicht passiert.
06.07.2004, 12:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde so vorgehen: $\begin{align} f(x) \ = \ x^2 \cdot \Bigsum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n(n+1)} x^{n-1} \ = \ \Bigsum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n(n+1)} x^{n+1} \end{align}$ $\begin{align} f^{''}(x) \ = \ \Bigsum_{n=1}^{\infty}~x^{n-1} \ = \ \frac{1}{1-x} \end{align}$ zweimalige Integration liefert: $\begin{align} f(x) \ = \ (1-x) \cdot \ln{(1-x)}+ax+b \end{align}$ Und da die Potenzreihe von f(x) mit x² beginnt, muß sowohl f(0)=0 als auch f'(0)=0 gelten. Dies liefert a=1, b=0. Daher gilt: $\begin{align} f(x) \ = \ (1-x) \cdot \ln{(1-x)}+x \end{align}$ und somit: $\begin{align} \Bigsum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n(n+1)} x^{n-1} \ = \ \frac{1}{x^2} \cdot $(1-x)\ln{(1-x)} + x$ \end{align}$ mit der stetigen Ergänzung ½ für x=0 (modulo Rechenfehler)
Anzeige

06.07.2004, 12:48	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt koennte man noch fragen, warum die Integral und unendliche Reihe vertauschen kannst - aber das steht ja ein wenig versteckt schon in der Voraussetzung der Aufgabe und der Threadersteller wird das sicherlich selbst herausfinden bzw. wissen.
06.07.2004, 12:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es ein einfaches pädagogisches (nicht mathematisches!) Prinzip: Es kommt etwas "Schönes" heraus, also stimmt die Rechnung. Ä-hmm! (Räusper)
06.07.2004, 12:57	Shopgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, diese Heuristik ist aber nur fuer Schulaufgaben und Uebungsaufgaben anwendbar Gerade die Einfachheit der Loesung erlaubt es da manchmal, diese einfacher zu bestimmen (ich denke da an Stammfunktionen, die man erraten kann, oder ganzzahlige Nullstellen von kompliziert aussehenden Polynomen).
06.07.2004, 13:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wenn ihr es genau wissen wollt: Potenzreihen sind beliebig oft differenzierbar und integrierbar. Der Konvergenzradius ändert sich dabei nicht. Hier: Da die geometrische Reihe (f''(x)) für \|x\|<1 konvergiert, hat also auch die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius 1.

Neue Frage »

Antworten »

Werte von Reihen

Verwandte Themen