Verständnis Abbildungen/Urbilder

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johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis Abbildungen/Urbilder
Hallo, ich bin neu in diesem Forum und habe folgende Frage aus einem Erstsemester-Kurs in Mathematik zum Thema Abbildungen:

Folgende Abbildung:



definiert durch:



für alle



Dabei gilt:

wenn
falls

Ich soll natürlich untersuchen ob surjektiv bzw. injektiv ist, soweit klar. Nun kommt aber in einer zweiten Unterfrage zu dieser Aufgabe folgendes:

Sei

.

Bestimmen Sie:



und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in

Ich nehme hier an, dass sich diese Unteraufgabe immer noch auf die zu erst definierte Abbildung bezieht und die Funktion hier eigentlich lautet:



liege ich da richtig oder kann das auch anders gemeint sein ?

Desweiteren habe ich Probleme die Urbilder richtig hinzuschreiben. Die Menge der Urbilder wäre doch in diesem Fall das U, also:



kann man das so schreiben ?

Beispielsweise wäre das Urbild zu 4 ja:



Viele Grüße,
Johann
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnis Abbildungen/Urbilder
Zitat:
Original von johann2012

Ich nehme hier an, dass sich diese Unteraufgabe immer noch auf die zu erst definierte Abbildung bezieht und die Funktion hier eigentlich lautet:



liege ich da richtig oder kann das auch anders gemeint sein ?


Ich denke, Du liegst richtig. Andernfalls wäre wohl eine andere Abbildungsvorschrift definiert worden.

Zitat:
Original von johan2012
Desweiteren habe ich Probleme die Urbilder richtig hinzuschreiben. Die Menge der Urbilder wäre doch in diesem Fall das U, also:



kann man das so schreiben ?


Genauer:



Zitat:
Original von johan2012

Beispielsweise wäre das Urbild zu 4 ja:





Du meinst: Urbild zu 2.

Das Urbild ist eine Menge! Also .
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Dann bin ich beruhigt, dass ich nicht total falsch denke smile
Ich bin Anfänger und versuche die formalen Zusammenhänge zu verstehen.

Also kann man auch folgendes sagen:



Ich tue mich vom Verständnis noch schwer mit der Bild und der Urbild-Definition:

Urbild:


Man definiert doch hier, dass die Urbilder u Elemente von U sind, welche die Eigenschaft haben:



Nun denke ich, dass beispielsweise für die Zahl 2 zwei Urbilder gemäß der Abbildungsvorschrift existieren: 2 und -2. -2 aber gar nicht die Eigenschaft von aufweist, sondern nur 2.

Bild:
Wenn man sagen kann, dass



besteht dann das Bild immer aus geordneten Paaren und man müsste demzufolge auch eine Menge von geordneten Paaren als Bild von f aufschreiben ?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnis Abbildungen/Urbilder
Zitat:
Original von Dennis2010

Genauer:

Nein, das stimmt nicht.

Vielmehr ist


Du musst alle möglichen Urbilder betrachten, also auch solche, die nicht in U liegen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johann2012
Vielen Dank! Dann bin ich beruhigt, dass ich nicht total falsch denke smile
Ich bin Anfänger und versuche die formalen Zusammenhänge zu verstehen.

Also kann man auch folgendes sagen:

Da verstehe ich nicht, weshalb du da das kartesische Produkt einbringst, was willst du mit genau ausdrücken?

Es ist , falls du das meinst verwirrt
Zitat:
Original von johann2012
Ich tue mich vom Verständnis noch schwer mit der Bild und der Urbild-Definition:

Urbild:
Das stimmt wie gesagt nicht, siehe meinen vorherigen Beitrag
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, da habe ich wirklich geschlafen!

Peinlich...
 
 
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da verstehe ich nicht, weshalb du da das kartesische Produkt einbringst, was willst du mit genau ausdrücken?


Das kartesische Produkt bringe ich wegen folgender Definition ein:

Wenn X und Y Mengen sind und folgende Abbildung definiert ist:



so kann man besser sagen dass eine Abbildung von X nach Y eine Relation ist:



Somit folgere ich bezüglich der eingangserwähnten Aufgabe, dass



und demzufolge ist:



Vielleicht liege ich hiermit auch total falsch verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist:

Eine Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B kann man auch als eine Teilmenge von mit den folgenden Eigenschaften auffassen:

(a) Zu jedem gibt es ein mit .

(b) Aus und folgt .
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist U eine Teilmenge von

Und somit ist die Bildmenge gemäß Abildungssvorschrift:



und die Urbilder sind:



oder eben

johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn T die Urbilder der Elemente in U unter f wären und man solle bestimmen



Was soll das dann schon wieder ? Bilde ich dann die Urbilder einfach noch einmal ab? Das kommt doch dann wieder auf dasselbe Bild ... verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johann2012
Somit folgere ich bezüglich der eingangserwähnten Aufgabe, dass



und demzufolge ist:



Vielleicht liege ich hiermit auch total falsch verwirrt
Da liegst du falsch.

Nach Definition gilt:


Hier das kartesische Produkt einzubringen führt zu nichts und verwirrt nur unglücklich
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johann2012
Also ist U eine Teilmenge von

Und somit ist die Bildmenge gemäß Abildungssvorschrift:



und die Urbilder sind:



oder eben

Das ist richtig Freude
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre für T gemäß dem was ich zu T schrieb die Bildmenge wieder:



oder eben

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johann2012
also wäre für T gemäß dem was ich zu T schrieb die Bildmenge wieder:



oder eben

Wie sieht konkret aus?
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn T die Menge der Urbilder der Elemente von U gemäß Abbildungsvorschrift f sind:

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist klar, aber wie sieht T konkret aus?
johann2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich trage noch mal ein Beispiel zusammen:

Abbildung kennen wir



Abbildungsvorschrift auch:



Wir definieren zB:



und definieren das T die Menge der Urbilder der Elemente in U gemäß f ist. Ausserdem definieren wir noch die Menge:



Dann würde ich sagen, dass die Elemente in T den Elementen in U entsprechen, also



und



bzw.



Das ganze kommt in dieser Art aus einer Aufgabe und ich hoffe ich habe das richtig definiert. Ist mein erster Tag mit diesem Thema Abbildungen ...
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