Kettenregel

09.04.2012, 12:43

XHotSniperX

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Kettenregel

Meine Frage:
Bestimmen Sie mithilfe der Kettenregel die Ableitung der Funktion

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R , f(t)=\frac{1}{||\gamma (t)||} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma :\mathbb R \rightarrow \mathbb R ^{3} , \gamma (t)=\begin{pmatrix} te^{2t} \\ \sin(3t) \\ t^{2}+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich muss jetzt Kettenregel für die Jacobi Matrizen benutzen:

$\begin{eqnarray*} J(f\circ \gamma )(t) = Jf(\gamma (t))\cdot J\gamma (t) \end{eqnarray*}$

Die Jacobi Matrix für Gamma wäre doch:

$\begin{eqnarray*} J\gamma (t)=\begin{pmatrix} e^{2t}+2te^{2t} \\ 3\cdot cos(3t) \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

Ich weiss aber nicht, wie ich jetzt die Jacobi Matrix für f(t) mache. Und wie leite ich überhaupt f(t) nach t ab, wenn da die Betragstriche sind?

Sollte eigentlich ne ganz leichte Aufgabe sein. Ich danke euch für eure Hilfe smile

smile

09.04.2012, 13:17

Cel

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Moment, irgendwas stimmt nicht. Du schreibst, du willst die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ bestimmen - geht nicht, denn f möchte ein reelles Argument haben, so wie alles definiert hast. Ist es nicht eher so, dass $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb R,~f(x) = \frac{1}{\|x\|} \end{eqnarray*}$ und Gamma so, wie du schon geschrieben hast? Guck noch mal in die Aufgabe. Dann könnten wir $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ ableiten und $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) = \frac{1}{\|\gamma(t)\|} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \gamma'(t) \end{eqnarray*}$ stimmt. Für f schreibe zunächst den Betrag aus. Streng nach Definition.

09.04.2012, 15:09

XHotSniperX

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Nein die Aufgabe ist so, wie ich geschrieben habe: Im Anhang ist die originale Aufgabe.

Ja f möchte ein reelles Argument haben. Hat sie doch auch, denn ||Gamma(t)|| ist 1-dimensional und Reell.

09.04.2012, 15:36

Cel

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von XHotSniperX
$\begin{eqnarray*} J(f\circ \gamma )(t) = Jf(\gamma (t))\cdot J\gamma (t) \end{eqnarray*}$

Das hier gibt aber keinen Sinn, denn $\begin{eqnarray*} f \circ \gamma \end{eqnarray*}$ kann man nicht bilden.

Eigentlich hab ich dir einen Teil der Aufgabe verraten, aber gut, du musst ja immer noch was machen - du weißt jetzt, welche Funktionen miteinander verkettet werden, nennen wir die eine dann doch mal g. $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb R,~g(x) = \frac{1}{\|x\|} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f = g \circ \gamma \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ist richtig bei dir, bestimme nun also $\begin{eqnarray*} \mathrm{grad}~ g \end{eqnarray*}$ . Und dann nur noch multiplizieren bzw. richtigen Punkt einsetzen.

09.04.2012, 15:59

XHotSniperX

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Ja ich verstehe, was du meinst. Aber die Aufgabe stimmt ja eigentlich schon. Das mit $\begin{eqnarray*} f\circ \gamma \end{eqnarray*}$ geht nicht, das stimmt. Du nimmst also einfach eine Hilfsfunktion g jetzt?

was meinst du mit grad? Wie viele Nullstellen die Funktion hat oder was? 1? smile

smile

Muss man nichts mit Jacobi Matrizen machen?

Ach du meinst den Gradient. Ok dann probier ich das mal

09.04.2012, 16:58

XHotSniperX

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Ist der Grad von g dann eine Zeilenmatrix mit 3 Stellen?

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09.04.2012, 18:57

Cel

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Ja, eine Zeile. Die Jacobi ist hier halt der Gradient, das stimmt.

09.04.2012, 20:25

XHotSniperX

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Wir nehmen also die Hilfsfunktion g:

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R ^{3}\rightarrow \mathbb R , g(x)=\frac{1}{||x||} \end{eqnarray*}$

Dann können wir das so machen:

$\begin{eqnarray*} Jf(t)=J(g\circ \gamma)(t)=Jg(\gamma (t))\cdot J\gamma(t) \end{eqnarray*}$

Die Jacobi-Matrix von g(x) ist einfach die Ableitung von g(x):

$\begin{eqnarray*} Jg(x)= -\frac{1}{x\sqrt{x^{2} } } \end{eqnarray*}$ , man darf hier nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ schreiben, wegen ||x||.

Dann kann man die Jacobi-Matrix der Komposition schreiben. Also in x Gamma einsetzen:

$\begin{eqnarray*} Jg(\gamma(t))= \left(-\frac{1}{te^{2t}\cdot \sqrt{t^{2}e^{4t} } }, -\frac{1}{sin(3t)\cdot \sqrt{sin^2(3t)} }, -\frac{1}{(t^2+1)\cdot \sqrt{(t^2+1)^2} } \right) \end{eqnarray*}$

Danach multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Jf(t)=Jg(\gamma(t))\cdot J\gamma (t)= \left(-\frac{1}{te^{2t}\cdot \sqrt{t^{2}e^{4t} } }, -\frac{1}{sin(3t)\cdot \sqrt{sin^2(3t)} }, -\frac{1}{(t^2+1)\cdot \sqrt{(t^2+1)^2} } \right) \cdot \begin{pmatrix} te^{2t} \\ sin(3t) \\ t^2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} Jf(t)= -\frac{1}{ \sqrt{t^{2}e^{4t} } } -\frac{1}{ \sqrt{sin^2(3t)} } -\frac{1}{\sqrt{(t^2+1)^2} } \end{eqnarray*}$

stimmt das?

10.04.2012, 10:38

Ehos

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Du sollst mittels Kettenregel für jeden Punkt deiner Raumkurve die Ableitung des Kehrwertes 1/r berechnen, wobei r der Abstand des Kurvenpunktes vom Nullpunkt ist, also

$\begin{eqnarray*} (r^{-1})'=\underbrace{-r^{-2}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot \underbrace{r'}_{\text{inner Ableitung}} \end{eqnarray*}$

Der Abstand vom Nullpunkt ist bekanntlich $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ . Dessen Ableitung lautet also $\begin{eqnarray*} r'=\tfrac{\vec x \cdot{\vec x}'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\tfrac{1}{2}\tfrac{(r^2)'}{r} \end{eqnarray*}$ . Einsetzen beider Ausdrücke liefert

$\begin{eqnarray*} (r^{-1})'=-\tfrac{1}{2}\tfrac{(r^2)'}{r^3} \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Kurve ist speziell

$\begin{eqnarray*} r^2=t^2e^{4t}+\sin^2(3t)+(t^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es einfach, die obige Ableitung zu berechnen. Der Formalismus mit der Jacobi-Matrix ist nicht notwendig.

10.04.2012, 11:16

Cel

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@Ehos: Du bist doch schon sehr lange dabei - Alternativlösungen sollten am Schluss angeboten werden, sonst verwirrt das alles doch nur.

@XHotSniperX: Was soll bei einem Vektor des IR³ x² sein? Wie gesagt, schreibe die Definition des Betrages aus, dann klappt das mit den partiellen Ableitungen auch gut.

11.04.2012, 17:52

XHotSniperX

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meinst du jetzt die Ableitung von g(x)? Hab ich das falsch abgeleitet?

11.04.2012, 17:54

Cel

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Ja. Was soll das Quadrat eines Vektors sein? Noch mal: Schreibe erst mal den Betrag aus und bilde dann die partiellen Ableitungen.

11.04.2012, 21:11

XHotSniperX

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Das Quadrat eines Vektors ist eine Zahl (Skalarprodukt oder?)... achja und g bekommt nen vektor aus R^3 dadurch ist der betrag eines vektors einfach die länge.. also eine zahl. all right?

das heisst ich kann einfach -1/länge (ohne wurzel) schreiben? meinst du das?

11.04.2012, 23:24

Cel

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Quadrate sind für mehrdimensionale Vektoren nicht definiert - du musst dann schon das Skalarprodukt hinschreiben.

Ich probiere es noch mal. Wir wollen den Gradienten von g haben, dafür brauchen wir die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x_i},~i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb, ein letztes Mal: Schreibe die Definiton des Betrages aus und bilde dann die partiellen Ableitungen. Das hast du wiederholt nicht gemacht - ich sehe bei dir nichts konkretes: -1/länge (ohne Wurzel) - was soll das sein?

12.04.2012, 19:02

XHotSniperX

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Ok gut, ich versuche es noch mal. Echt blöd, dass ich an dieser Aufgabe, die am wenigsten Punkte gibt, am längsten brauche. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Warte, mir ist gerade was eingefallen:

12.04.2012, 20:31

XHotSniperX

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Also habe jetzt 2 Varianten gemacht mit leider unterschiedlichen Lösungen unglücklich

unglücklich

Die Erste Variante ist das mit der Jacobi Matrix:

Wir haben ja eine Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ definiert:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{||x||}\Rightarrow f(t)=(g\circ \gamma)(t)=g(\gamma(t))=\frac{1}{||\gamma(t)||} \end{eqnarray*}$

Das heisst, die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bekommt einen 3-Dimensionalen Vektor als x und da dieser in Betragstrichen ist, wendet man folgende Definition des Betrags an:

v Vektor, $\begin{eqnarray*} g(v)=\frac{1}{||v||}= \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} } \end{eqnarray*}$ , wobei x, y, z die 3 Richtungen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ sind.

Nun können wir anhand obiger Definition schreiben:

$\begin{eqnarray*} g(\gamma(t))=\frac{1}{\sqrt{t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2} } \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitungen nach x, y, z:

$\begin{eqnarray*} \partial_{x}g(\gamma(t)) =-\frac{te^{4t}+2t^2e^{4t}}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_{y}g(\gamma(t)) =-\frac{3sin(3t)cos(3t)}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_{z}g(\gamma(t)) =-\frac{2t(t^2+1)}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} Jf(t)=Jg(\gamma (t))\cdot J\gamma (t)=\left( -\frac{te^{4t}+2t^2e^{4t}}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}}||| -\frac{3sin(3t)cos(3t)}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} ||| -\frac{2t(t^2+1)}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}}\right) \cdot \begin{pmatrix} e^{2t}+2te^{2t} \\ 3cos(3t) \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gibt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(te^{4t}+2t^2e^{4t})(e^{2t}+2te^{2t})+sin(3t)cos(3t)3\cdot 3cos(3t)+(t^2+1)2t\cdot 2t}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{te^{6t}(1+4t+4t^2)+9sin(3t)cos^2(3t)+4t^4+4t^2}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

======================================================

Die zweite Variante wäre:

Da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein 3-dimensionaler Vektor ist, können wir

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{||x||} \end{eqnarray*}$

so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(t)=g\circ \gamma=g(\gamma (t))=\frac{1}{||\gamma (t)||}=\frac{1}{\sqrt{t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2} } \end{eqnarray*}$

Jetzt also mit der Kettenregel ableiten:

$\begin{eqnarray*} f'(t)=(g(\gamma (t)))'=g'(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)=-\frac{2te^{4t}+t^2\cdot 4e^{4t}+2\cdot sin(3t)\cdot cos(3t)\cdot 3+2\cdot (t^2+1)\cdot 2t}{2\cdot (t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

dann kann man die Zwei kürzen:

$\begin{eqnarray*} =-\frac{te^{4t}+t^2\cdot 2e^{4t}+3\cdot sin(3t)\cdot cos(3t)+2t\cdot (t^2+1)}{(t^2e^{4t}+sin^2(3t)+(t^2+1)^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Welche Variante stimmt?

13.04.2012, 08:48

Ehos

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Die letzte Formel stimmt. Wie ich bereits am 10.04.schrieb, hättest du dir diese komplizierte Rechnung mit der Jacobi-Matrix sparen können, denn das Ableiten der Funktion 1/r ist Schulmathematik.

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