Wertebereich einer Funktion bestimmen

09.04.2012, 14:33

totti

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Wertebereich einer Funktion bestimmen

Hallo

ich habe eine Frage, zu Folgender Aufgabe:

Gegeben ist folgende Exponentialfunktion: $\begin{eqnarray*} g(x)=(x+3)*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist: Geben sie den Wertebereich der Funktion g an. Führen sie ausschließlich die dazu notwendigen Berechnungen durch!

Als erstes habe ich die Funktion umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x+3}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

So konnte ich die Funktion gut gegen unendlich untersuchen, da ich so die Regel von l'hospital anwenden.

Für $\begin{eqnarray*} +\infty =0 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} -\infty = -\infty \end{eqnarray*}$

Um diese Berechnungen zu machen, musste ich natürlich erst die Ableitungen von f und g bestimmen.

Jetzt möchte ich den Graph auf Extrema untersuchen.
Jedesmal wenn ich die Funktion ableite sei es mit der Produktregel oder der Quotientenregel komme ich auf folgende Ableitung:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=e^{-x}(-x-3) \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Ableitung gleich 0 setze um einen Kandidaten zu bestimmen komme ich auf $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$
Das kann doch aber nicht sein oder? wo liegt denn mein Fehler?
Laut Lösung muss ich auf -2 kommen...

09.04.2012, 14:39

Gast11022013

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Du musst nur gucken ob der Nenner Null wird.
Da kannst du hervorrangend die Eigenschaft der e-Funktion nutzen.
Für den Wertebereich meine ich.

09.04.2012, 14:41

totti

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Und eine e Funktion wird doch NIE 0 oder???

Was bringt mir das also?

09.04.2012, 14:43

PhyMaLehrer

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RE: Wertebereich einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von totti
Jedesmal wenn ich die Funktion ableite sei es mit der Produktregel oder der Quotientenregel komme ich auf folgende Ableitung:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=e^{-x}(-x-3) \end{eqnarray*}$

Ich nicht! Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?

09.04.2012, 14:44

Gast11022013

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Du möchtest doch den Wertebereich bestimmen und sollst dafür nur die notwendigen Berechnungen anstellen laut Titel deines Threads.
Ich wollte einfach nur sagen, dass es reicht wenn du dir die Eigenschaft der e-Funktion zu nützen machst du sagen kannst, dass sie für alle x-Werte Definiert ist da e^x ja nicht Null werden kann.

Zu deiner Ableitung kann ich sagen, dass sie falsch ist.

09.04.2012, 14:45

totti

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$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$

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09.04.2012, 14:48

PhyMaLehrer

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Genau. Und mit der Produktregel komme ich auf die Ableitung

$\begin{eqnarray*} (-2-x) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Bitte nachprüfen! smile

smile

09.04.2012, 14:50

totti

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Also kann ich mir das mit den l'hospital sparen...

Hast du Recht. Aber trotzdem muss ich doch das Verhalten hinschreiben oder?
Oder meinst du es würde so ausreichen das die e-Funktion für alle x-Werte eine defienerte Menge hat?

Denn in der Lösung steht es nämlich so, das dort halt beide Verhalten untersucht worden sind, also gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$

09.04.2012, 14:55

Gast11022013

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Vielleicht vertauscht du hier gerade Wertebereich und Asymptote.

Beim Wertebereich würde es eigentlich ausreichen zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

09.04.2012, 15:03

Mulder

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Vielleicht vertauscht du hier gerade Wertebereich und Asymptote.

Vertauscht du vielleicht gerade Wertebereich und Definitionsbereich?

Für den Wertebereich reicht in der Tat die Untersuchung der Grenzwerte und Extremwertermittlung.

09.04.2012, 15:04

Gast11022013

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Mist.

Hammer

Ich glaube ich sollte mal ne Auszeit machen.
Ich erzähle heute nur Blödsinn.

Hmmm...... unglücklich

unglücklich

09.04.2012, 15:07

totti

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Hmm...

$\begin{eqnarray*} u'*v+u*v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1)*(e^{-x}) + (x+3)*(-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-x} + (x+3)*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-x}*(-x-3) \end{eqnarray*}$

09.04.2012, 15:10

Gast11022013

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Du vergisst die +1.

Wenn du $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ausklammerst dann auch bei dem $\begin{eqnarray*} 1*e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du so wie du es dort hast wieder rein rechnest erhältst du nicht die ausgangsfunktion.

09.04.2012, 15:16

totti

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Ja wenn ich es ja ausklammre muss ich anstelle der $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ eine 1 schreiben...

Und dann die 1-3 =-2

Somit hätte ich schonmal einen Anfang...

Mensch Grundlegende Sachen mache ich falsch...
So kann das Ergebnis ja nicht stimmen...

Ich rechne mal zu Ende, und schaue was bei rum kommt.

09.04.2012, 15:17

Gast11022013

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Also da sollte nach dem ausklammern stehen:

$\begin{eqnarray*} e^{-x}(1-x-3) \end{eqnarray*}$

09.04.2012, 15:22

totti

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Ja habe ich!

$\begin{eqnarray*} g''(x)=-e^{-x}(-x-1) \end{eqnarray*}$

IStd as richtig?

09.04.2012, 15:24

Gast11022013

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Ja das stimmt.
Auch wenn ich das Minus nicht mit ausgeklammert hätte.

09.04.2012, 15:25

totti

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Stimmt ist besser

$\begin{eqnarray*} e^{-x}(x+1) \end{eqnarray*}$

?!

09.04.2012, 15:26

Gast11022013

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Jap.

Auch wenn ich es als Bruch schreiben würde um den negativen Exponenten zu entfernen. Big Laugh

Big Laugh

Nein das kannst du halten wie du möchtest, aber ich hasse zum Beispiel negative Exponenten wie die Pest. Keine Ahnung warum.

09.04.2012, 15:27

totti

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und andere hassen Brüche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein mir ist das eigentlich egal...

Nur nicht zuviel Minuse^^

09.04.2012, 15:30

Gast11022013

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Ich finde das immer gut wenn ich negative Exponenten habe, weil ich sie schön entfernen kann und das den positiven Nebeneffekt hat, dass es ein Bruch wird.
Und ich finde rechnen mit Brüchen eindeutig schöner.
Aber mit negativen Exponenten rechne ich sehr Ungerne. Gerade wenn es ums Ableiten geht.
Da schleichen sich meiner Meinung nach sehr flink Vorzeichenfehler ein. Deshalb mach ich das immer mit Quotientenregel, die auch persönlich auch leichter finde.

Hast du noch fragen zum weiterem Vorgehen?

09.04.2012, 15:37

totti

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Ja Sekunde bitte noch...

Wenn ich jetzt nochmal die Regel von l'hospital anwende, habe ich doch folgendes stehen oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Und jetzt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$ Eingestezt z.B 3 sehe ich, das die Funktion gegen 0 geht.

Und jetzt : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$ Eingestezt z.B -3 sehe ich, das die Funktion gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ geht...

Das ist aber falsch..wo liegt den mein Fehler auf einmal?

09.04.2012, 15:42

Gast11022013

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Der Fehler liegt darin, dass du nicht die Ausgangsfunktion untersuchst.

Für x gegen unendlich geht die Funktion gegen 0 das ist richtig.

Für x gegen -unendlich geht die Funktion gegen -unendlich.

Wenn du in der Ausgangsfunktion eine riesige negative Zahl einsetzt wird der Zähler negativ.
Der Nenner bleibt positiv. Damit ist der Endwert negativ.

09.04.2012, 15:47

totti

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Wieso, die Ausgangsfunktion ist doch $\begin{eqnarray*} (x+3)*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Um die Regel von l'HOSPITAL anzuwenden muss ich da nicht erst eine Ableitung bestimmen??? Bzw. beide von den 2 Funktionen die ich daraus mache?

09.04.2012, 15:51

Gast11022013

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Was möchtest du den machen. Ich dachte du möchtest die Asymptote bzw. den Wertebereich bestimmen.

l'hopital brauchst du eigentlich gar nicht. Den brauchst du eigentlich eher für echt sicke Sinus und Cosinus-Funktionen.

Die Regel von l'hopital haben wir in dem Zusammenhang in der Schule auch gar nicht gemacht. Deshalb kenne ich mich ehrlich gesagt auch gar nicht so gut mit ihm aus. Aber eigentlich ist er hier nicht notwendig.

09.04.2012, 15:52

totti

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Und die komplette Lösung muss doch sein,

$\begin{eqnarray*} W_f\left\{ y\in \mathbb R |\leq e^2\right\} \end{eqnarray*}$

Das liest man doch so oder?

Der Wertebereich von der Funktion g(x) oder auch y ist Element der Reellen Zahlen, alle kleiner / gleich der Zahl e^2!

Korekkt?

09.04.2012, 15:54

totti

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Ich kenne l'hospital um ein Verhalten gegen einen Grenzwert zu betrachten..

Naja vllt. liest der Therad ja gleich noch einer und kann mir da den Fehler noch sagen,
denn ich meine das ich l'hospital auch bei e-Funktionne anwenden kann und eigentlich auch sollte...

Da ich schonmal einen ähnlichen Fall hatte...

hier

hatte ich auch den Fehler und habe eigentlich die E-Funktion nicht beachtet, da ich ich dachte, dass es ausreichend ist, um den Grenzwert zu bestimmen den höchsten Exponenten zu untersuche...

Dann habe ich l'hospital angewandt und es hat funktioniert.

aber ok...ist vllt nicht ganz der selbe Fall, aber was ich damit sagen wollte, ist das man l'hospital nicht nur bei Sinus und Kosinus Funktionen gebrauchen kann

09.04.2012, 15:56

Gast11022013

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Ja.
Das ist soweit korrekt.

Zu l' hospital kann ich dir leider nichts sagen. Ich befürchte auch gerade, dass ich dich falsch verstehe. Du scheinst ja den oberen Grenzwert gesucht zu haben. Ich habe, wie mir gerade auffällt, wieder Definitions und Wertebereich durch einander gebracht.

09.04.2012, 16:00

totti

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Ja das wollte ich auch gerade schreiben...

Das du da vllt wieder einen Dreher drin hast?!

Danke für deine Hilfe, mach jetzt erstmal kurz eine Pause..

Danach kommen sicherlich noch paar Probleme^^ smile

smile

Freude

09.04.2012, 16:03

Gast11022013

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Eine Pause kann ich glaubig auch gut gebrauchen. Ich bin gerade sehr unkonzentriert irgendwie.

Aber bei l' hospital kann ich dir auch nicht wirklich helfen.
Da muss dir jemand anders unter die Arme greifen.

An der Stelle gebe ich mal den Thread für einen Mitleser frei.

Wink

Wink

09.04.2012, 16:35

Mulder

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Bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} \frac{x+3}{e^x} \end{eqnarray*}$

ist L'Hospital überhaupt nicht anwendbar. An die Anwendung dieses Satzes sind gewisse Bedingungen geknüpft, die hier eben nicht erfüllt sind. Zähler und Nenner müssen beide gleichzeitig entweder gegen unendlich oder gegen 0 gehen. Es geht bei L'Hospital doch darum, zu ermitteln, ob Zähler oder Nenner "schneller" wächst/fällt (anschaulich).

Für x gegen minus unendlich geht hier der Zähler gegen minus unendlich und der Nenner gegen 0. Da muss man sowieso gar nicht weiter nachdenken, es ist klar, dass der Grenzwert dann minus unendlich ist.

Bei x gegen PLUS unendlich hingegen gehen Zähler und Nenner beide gegen unendlich und dann kann man auch L'Hospital bemühen.

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