Stichprobe und Grundgesamtheit

09.04.2012, 15:51	lukas234	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobe und Grundgesamtheit Stochastik, yaaay. Mein absolutes Lieblingsthema. Hm, also Thema ist Beurteilende Statistik / Stochastik, genauer: Stichprobe und Gesamtheit. Mich würd nur interessieren, ob ich richtig gerechnet habe. Die Wahl zum Bürgermeister einer Großstadt gewinnt derjenige Kandidat, der mehr als 50% der Stimmen erhält. a) Bei der Wahl gewinnt der amtierende Bürgermeister mit einem Anteil von 56% der Stimmen. Nach der Wahl wird eine repräsentative Umfrage durchgeführt, in der unter anderem danach gefragt wird, ob man für den amtierenden Bürgermeister gestimmt hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 5 Befragten genau 3 den amtierenden Bürgermeister gewählt haben. Also, ich gehe hier mal stark von einer Binomialverteilung aus mit n = 5 und k = 3 sowie p = 0,56. Wir schließen also von der Gesamtheit auf die Stichprobe. Dafür gilt: X = "Anzahl an Wählern" $\begin{eqnarray} P(X=3) = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 0,56^{3} \cdot 0,44^{2} \end{eqnarray}$ = 0,3399 = 34% Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 34% findet man unter 5 Befragten genau 3, die den Bürgermeister gewählt haben. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 500 zufällig ausgesuchten Wählern mindestens 260 und höchstens 300 den amtierenden Bürgermeister gewählt haben. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der Stimmen für den amtierenden Bürgermeister binomialverteilt ist. Hier dürfte kumulierte Binomialverteilung vorgehen, ich rechne also: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=260}^{300} {\begin{pmatrix} 500 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,56^{k} \cdot 0,44^{500-k}} \end{eqnarray}$ = 0,935353 Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 93,5% findet man unter 500 Personen mindestens 260 und höchstens 300 Wähler. c) Bereits vor der Bürgermeisterwahl wurden Umfragen zum Wahlausgang durchgeführt. In einer repräsentativen Umfrage gaben 424 von 800 Personen an, den amtierenden Bürgermeister wählen zu wollen. Entscheiden Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob der amtierende Bürgermeister mit einem Wahlsieg rechnen konnte. Hier kommt die 95%-Regel ins Spiel: $\begin{eqnarray} P(mue-{1,96}sigma\leq X\leq mue+{1,96}sigma)={0,95} \end{eqnarray}$ (Sorry, hab einfach mal statt Sonderzeichen "mue" und "sigma" geschrieben...) Wir kennen die relative Häufigkeit $\begin{eqnarray} \frac{X}{n} = \frac{424}{800} \end{eqnarray}$ . Die relative Häufigkeit ist gleichzeitig eine Wahrscheinlichkeit, die für die Gesamtheit angewandt werden kann. Der Erwartungswert bei n=800 und p=424/800=0,53 ist: "mue"=np=424 Die Standardabweichung "sigma" ist "sigma"= $\begin{eqnarray} sigma = \sqrt{800{\frac{424}{800} }{\frac{376}{800} }} \end{eqnarray}$ = 14,1167 1,9614,1167 = 27,6686 Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} P(396\leq X\leq 452)={0,95} \end{eqnarray}$ Und weil 396/800 < 0,50, konnte der Bürgermeister nicht damit rechnen. Antwort: Der Bürgermeister konnte nicht mit einem Wahlsieg zu 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit rechnen. d) In einer weiteren repräsentativen Umfrage unter n zufällig ausgewählten Personen gaben 54% der Befragten an, den amtierenden Bürgermeister wählen zu wollen. Ermitteln Sie die Mindestanzahl n an Personen, die befragt worden sein müssen, damit das Vertrauensintervall zur Sicherheitswahrschienlichkeit von 95% für den unbekannten Stimmenanteil p nur Werte enthält, die größer als 0,5 sind. Gesucht ist doch hier ein Intervall für p mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%. Oder? Und dafür brauche ich eine Mindestanzahl n an Personen... Mein Ansatz (hier ist ja jetzt Schluss von der Stichprobe auf Grundgesamtheit): $\begin{eqnarray} n\geq {(\frac{1,96}{0,05} )}^2 \cdot {0,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\geq {384,16} \end{eqnarray}$ Ist das richtig alles? Mehr will ich gar nicht wissen Danke schonmal... Lukas

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