Faktorgruppe G/Z(G) != G?

09.04.2012, 15:02

Vivianne

Faktorgruppe G/Z(G) != G?

Meine Frage:
Ich verstehe Faktorgruppen nicht... Es gibt auf Youtube ein Video, das Bahnen und Faktorgruppen an einer Diedergruppe 'vorrechnet' - Das habe ich zwar verstanden, hilft mir aber nicht grundlegend weiter.

Meine eigentlich Frage ist nun, warum ist G/Z(G) nicht gleich G?

Meine Ideen:
Es gilt ja ( hoffentlich.. )

G/Z(G)={g*Z(G)|g in G}={g*z|g in G, z in Z(G)}
und
e als das neutrale Element von G liegt in Z(G).

Das heißt ( wohl nicht, aber ich weiß nicht, warum )
G/Z(G)={g*e|g in G} vereinigt mit {g*z|z in Z(G) ohne e}
Und {g*e|g in G} wäre wieder ganz G.

Hilflose Grüße, Vivi.

09.04.2012, 15:11

jester.

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RE: Faktorgruppe G/Z(G) != G?

Zitat:

Original von Vivianne
G/Z(G)={g*Z(G)|g in G}={g*z|g in G, z in Z(G)}

Da liegt dein Fehler, jedes der $\begin{eqnarray*} gZ(G) \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge der Gruppe.
$\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ ist also eine Menge bestehend aus Teilmengen der Gruppe (den sogenannten Neben- oder Restklassen nach $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ ).

Jedoch ist richtig, dass $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ als Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Einselement enthält.

09.04.2012, 15:24

Vivi1234

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Danke erstmal für die Antwort. smile

Betrachte ich nun so eine Nebenklasse g*Z(G), dann wäre das {g*z|z in Z(G)}.. richtig?
Da e in Z(G) liegt wäre g=g*e in g*Z(G).. und damit komme ich wieder zu dem selben falschen Schluss, dass all die Nebenklassen vereinigt wieder gleich G sind.

Hättest du eventuell noch eine andere Idee, mir meine(n) Fehler zu zeigen?

Vivi~

09.04.2012, 15:28

jester.

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Das ist schon immer richtig. Also hat man eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \leq G \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} G=\bigcup_{g\in G} gU \end{eqnarray*}$ , nicht jedoch $\begin{eqnarray*} G/U=\bigcup_{g\in G} gU \end{eqnarray*}$ .
Von Gleichheit kann da sowieso keine Rede mehr sein, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ besteht aus seinen Gruppenelementen, wohingegen $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ wie gesagt aus Mengen von Gruppenelementen besteht.

Und ja, $\begin{eqnarray*} gU=\{gu ~|~ u \in U\} \end{eqnarray*}$ .

09.04.2012, 15:30

Vivi1234

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Uhm.. ich vereinige die Nebenklassen garnicht, die sind jeweils ein Element von G/Z(G), oder?
G/Z(G) ist also garnicht eine Menge aus G, sondern eine Gruppe deren einzelne Elemente jeweils für sich wieder kleine Mengen aus G sind, richtig?

*guckt beschämt*

09.04.2012, 15:32

Vivi1234

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Ich kann leider nicht editieren und habe meinen Beitrag geschreiben und abgeschickt bevor ich deinen 2. gelesen habe - Ich glaube, dann hab ich das nun verstanden. *hoff*

Vielen Dank. smile

09.04.2012, 15:33

jester.

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Fast richtig, denn es kommt auf die Gestalt der Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ an, ob $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ eine Gruppenstruktur trägt. Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ das Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , so liegt mit $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ aber in der Tat eine Gruppe vor (Edit: Genau das war auch deine Frage, trotzdem ist bei beliebigen Untergruppen Vorsicht geboten, diese liefern nicht immer eine Gruppenstruktur auf der Restklassenmenge).

Ansonsten ja und nein: $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ ist in der Tat eine Menge aus Teilmengen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Aber wie oben gezeigt kann man die Nebenklassen auch alle vereinigen (klar, es sind ja Mengen) und erhält genau die ursprüngliche Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zurück.

Am besten du probierst das mal ein einem Beispiel aus oder versuchst dein Youtube-Video nochmal nachzuvollziehen.

09.04.2012, 15:37

Vivi1234

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Ich bin davon ausgegangen, dass wir nur Normalteiler betrachten - Sind Faktorgruppen G/U denn auch für nicht-Normalteiler U definiert?

Danke nochmal. *geht nun irgendeine arme kleine endliche Gruppe quälen.. :>*

09.04.2012, 15:46

jester.

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Man spricht dann nicht von Faktorgruppen, aber die Menge der Nebenklassen kann man sich durchaus anschauen. Das kann sich auch lohnen, man gewinnt beispielsweise Einsichten, indem man $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ operieren lässt; oder man kann auch ganz allgemein etwas über transitive Operationen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ lernen. Das kannst du alles im Workshop über Gruppenoperationen nachlesen, falls es dich mal interessiert. Augenzwinkern

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