Basis des Kerns bestimmen eines hogenen LGS |
| 09.04.2012, 18:11 | Beckii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis des Kerns bestimmen eines hogenen LGS Ich habe folgene Matrix A gegeben: Zunächst soll icb den Rang der Matrix angeben, die Dimension des Kerns der Abbildung und eine Basis des Kerns angeben. Als letztes wird gefragt ob das LGS lösbar ist und wenn ja wie die allg. Lösung lautet. Meine Ideen: Zunächst habe ich versucht die Matrix in eine Einheitsmatrix zu bringen. Da mir jedoch eine Zeile fehlt ist und ich bei der umformung eine Zeile verloren habe (-> Nullzeile) erhalte ich folgendes: nun weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll, da mir in der mitte die eins fehlt.. Zunächst habe ich herausgefunden, dass der Rang 3 ist und die Dimension von Kern 2. Wie ich nun auf die Basis komme ist die Frage.. vielen Dank im vorraus 
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| 09.04.2012, 19:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Basis des Kerns bestimmen eines hogenen LGS Was meinst du denn mit deiner Gleichung? Und wieso wundert es dich, dass eine Nullzeile entsteht, wenn die Matrix Rang 3 hat? Und wie bist du auf den Rang gekommen? Und vor allem: Wie möchtest du aus einer 4x5-Matrix eine Einheitsmatrix machen? 
Meinst du die Zeilenstufenform? Dann mach das mal und lies am Ende Vektoren ab, die im Kern davon liegen. Zwei unabhängige davon sind deine Basis. mfg, Ché Netzer |
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| 10.04.2012, 08:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Basis des Kerns bestimmen eines hogenen LGS
Die Frage und die von dir gepostete Vorgehensweise lassen den Eindruck entstehen, daß du das noch niemals gemacht hast. Erstmal mußt die Matrix in Zeilenstufenform bringen. Ein Teil deiner Rechnung ist dafür zumindest brauchbar. Man erhält die Matrix . Damit ist der Rang der Matrix = Anzahl der Nicht-Nullzeilen = 3. Um eine Basis des Kerns zu bestimmen, benötigst du als erstes die frei wählbaren Variablen. Wie bestimmt man nun bei einem LGS die frei wählbaren Variablen? Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt: Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. |
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