Potenzreihe in Funktion umwandeln

09.04.2012, 19:41

KingWarrior

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Potenzreihe in Funktion umwandeln

Hallo,

ich soll die folgende Potenzreihe in eine Funktion umwandeln:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n(x/2)^{n+2} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich nicht mal einen Ansatz habe wie man das macht. Kann mir da jemand einen Hinweis geben? Im Papula habe ich dazu nur gefunden , wie man eine Funktion in eine Potenzreihe entwickeln kann, aber den Rückweg kann ich mir nicht herleiten.

MfG

09.04.2012, 19:46

Che Netzer

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RE: Potenzreihe in Funktion umwandeln
$\begin{eqnarray*} (-1)^n=(-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$
Dann zusammenfassen und die Formel für geometrische Reihe anwenden. Dabei auf den Startindex/Exponenten achten. Zum letzteren entweder mit Indexverschiebung oder das Quadrat "hineinziehen".

mfg,
Ché Netzer

09.04.2012, 22:04

KingWarrior

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Woher kommt die Gleichung?

09.04.2012, 22:08

Che Netzer

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Die, die ich aufgeschrieben habe? Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (-1)^n=(-1)^n\cdot1=(-1)^n\cdot\underbrace{(-1)^2}_{=1}=(-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$

Edit: Das kannst du aber auch umgehen, indem du einfach -x²/4 als Basis wählst.

09.04.2012, 22:25

KingWarrior

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Ja das meinte ich. Wie soll man denn auf sowas kommen oder gibts da allg. Ansätze?

09.04.2012, 22:29

Che Netzer

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Außer "sehen" und geschickt umformen würde mir kein allgemeiner Ansatz einfallen...

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09.04.2012, 23:40

thk

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Hallo,

man kommt mit etwas Mühe auf
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n(x/2)^{n}=\frac{x+1}{1+\tfrac{2}{x} } \end{eqnarray*}$

Zieht man die Anfangswerte noch ab, erhält man für quasi geg. Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty (-1)^n(x/2)^{n}=\frac{x+1}{1+\tfrac{2}{x} } +\frac{x}{2} -\frac{x^{2}}{4} \ , x\in \ ]-2,2] \ \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

LG

09.04.2012, 23:51

Che Netzer

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n(x/2)^n=\frac2{x+2}-1=\frac{-x}{x+2} \end{eqnarray*}$ ... (wenn wir schon unsere Ergebnisse verraten)

Und danach müsstest du die 2 ja auch noch ausschließen, oder?

10.04.2012, 00:22

thk

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Hmmm ich habs mal geexcelt und komme auf mein Ergebnis inkl. +2 f(2)=1,5

Sry fürs "verraten", das klang so als wolle man es dabei belassen...

Hast du mal geprüft?

10.04.2012, 06:47

Che Netzer

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Ich habe das einfach in eine geometrische Reihe enwickelt und das erste Glied abgezogen:
$\begin{eqnarray*} \frac1{1+\tfrac x2}-1=\frac2{2+x}-\frac{2+x}{2+x}=-\frac x{x+2} \end{eqnarray*}$
Und bei WolframAlpha kommt das selbe heraus:
Link
Für x=2 hast du
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n(2/2)^n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n \end{eqnarray*}$
Das soll gegen 1,5 konvergieren?

10.04.2012, 08:56

thk

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Oh hatte mich böse vertan... Na klar Hammer

Hammer

Von der geometr. Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\tfrac{-1}{2} )^n \end{eqnarray*}$ müssen aber insgesamt die ersten 3 Glieder weg (Summe von n=3...) Meintest du sicher.

Edit wie kommst du nur mit so wenig Schlaf aus...

10.04.2012, 17:06

Che Netzer

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Ja, die nächsten beiden würde ich auch noch abziehen, aber erstmal ging uns ja um die Reihe von n=1 bis Unendlich.

Für den Startwert 3 würde ich dann aber einfach $\begin{eqnarray*} \tfrac{x^2}4 \end{eqnarray*}$ vorher ausklammern (dann ist der Exponent wieder n bei Startwert 1), wären dann also $\begin{eqnarray*} -\frac{x^3}{4(x+2)} \end{eqnarray*}$ . (dann spart man sich das Abziehen der weiteren Glieder)

10.04.2012, 20:25

KingWarrior

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$\begin{eqnarray*} -\frac{x^3}{4(2+x)} \end{eqnarray*}$ hab ich auch raus. Und was mache ich dann damit? Ist das die gesuchte Funktion?

10.04.2012, 20:51

Mystic

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, die nächsten beiden würde ich auch noch abziehen, aber erstmal ging uns ja um die Reihe von n=1 bis Unendlich.

Für den Startwert 3 würde ich dann aber einfach $\begin{eqnarray*} \tfrac{x^2}4 \end{eqnarray*}$ vorher ausklammern (dann ist der Exponent wieder n bei Startwert 1), wären dann also $\begin{eqnarray*} -\frac{x^3}{4(x+2)} \end{eqnarray*}$ . (dann spart man sich das Abziehen der weiteren Glieder)

Verstehe das mit dem Abziehen von Gliedern, seinen es nun drei oder auch nur eines, überhaupt nicht... Das Ganze ist doch klar eine unendlich geometrische Reihe mit Startglied $\begin{eqnarray*} -x^3/8 \end{eqnarray*}$ und dem Quotienten -x/2, oder etwa nicht? verwirrt

verwirrt

10.04.2012, 22:08

KingWarrior

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Dein n beginnt bei 1. Jetzt kann man die 1 entweder in den Exponenten ziehen oder nach Anwendung der Formel fur die geometrische reihe die Glieder abziehen. Das ist zum kovergenzwert berechnen.

10.04.2012, 22:30

Mystic

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Zitat:

Original von KingWarrior
Dein n beginnt bei 1. Jetzt kann man die 1 entweder in den Exponenten ziehen oder nach Anwendung der Formel fur die geometrische reihe die Glieder abziehen. Das ist zum kovergenzwert berechnen.

Also noch einmal und etwas ausführlicher für dich... Lehrer

Lehrer

Es gibt da die Summenfor
mel für die unendlich geometrische Reihe, nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_0q^k =\frac{a_0}{1-q} \quad (|q|<1) \end{eqnarray*}$

Und in diese wird einfach eingesetzt, und zwar mit $\begin{eqnarray*} a_0=-x^3/8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-x/2 \end{eqnarray*}$ ...

11.04.2012, 16:17

KingWarrior

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Ist das jetzt die gesuchte Funktion f(x) ?

11.04.2012, 16:19

Mystic

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Zitat:

Original von KingWarrior
Ist das jetzt die gesuchte Funktion f(x) ?

Ja, klar... Natürlich muss dafür |x|<2 sein, wie während der Rechnung hoffentlich klar geworden ist...

11.04.2012, 17:27

KingWarrior

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Nö, wieso?

11.04.2012, 17:31

Mystic

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Weil die unendlich geometrische Reihe, die zwischendurch mit q=-x/2 zum Einsatz kam, nur für |q|<1 konvergiert...

11.04.2012, 17:38

KingWarrior

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Jetzt sehe ich es auch .Danke!

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