Summe der Quadrate und Quadrat der Summe

09.04.2012, 20:17	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe der Quadrate und Quadrat der Summe Hallo, ich lese gerade ein Paper und dort wird folgende Ungleichung benutzt für eine beliebige natürliche Zahl n und irgendwelche natürlichen Zahlen k_i, i=1,...,n : $\begin{eqnarray} \frac{(\sum_{i=1}^n k_i)^2}{n} \leq \sum_{i=1}^n k_i^2 \end{eqnarray}$ Ich sitze nun da und komme nicht drauf. Kennt jemand einen Beweis? MfG plizzz
09.04.2012, 20:45	lulz	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal das Allheilmittel Induktion versucht? Das wäre zumindest mein erster Versuch, wenn ich es nicht direkt sehe
09.04.2012, 20:59	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wurde Cauchy-Schwarz angewendet.
09.04.2012, 22:34	lulz	Auf diesen Beitrag antworten »
Oha, stimmt. Peinlich, dass ich das nicht gesehen habe. $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle\le \|\|x\|\|\cdot\|\|y\|\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=(k_1,\ldots,k_n)^\text{T} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=(1,\ldots,n)^\text{T} \end{eqnarray}$
09.04.2012, 22:36	lulz	Auf diesen Beitrag antworten »
Tippfehler, korrigiert: $\begin{eqnarray} y=(1,\ldots,1)^\text{T} \end{eqnarray}$
09.04.2012, 22:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
So wird ein Schuh' draus. Der Erklärung halber sollte man vllt. noch dazu schreiben, daß hier die Cauchy-Schwarze-Ungleichung mit dem Spezialfall des Standardskalarprodukts auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ angewandt wurde.
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09.04.2012, 23:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht übrigens auch recht einfach straight-forward: $\begin{eqnarray} \left(\sum k_i \right)^2 = \sum k_i^2 + \sum_{i < j} 2k_ik_j \leq \sum k_i^2 + \sum_{i < j} (k_i^2+k_j^2) = n \sum k_i^2 \end{eqnarray}$ Zwischenzeitlich wurde nur $\begin{eqnarray} 2k_ik_j \leq k_i^2+k_j^2 \end{eqnarray}$ , also die 2. binomische Formel, verwendet.
10.04.2012, 09:18	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, alles klar. Beide Beweise sind leicht nachvollziehbar, aber ich kam gestern nicht drauf. Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

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