Grenzwert einer Folge

09.04.2012, 20:46

HIZTWV

Grenzwert einer Folge

Guten Abend,

Kann mir bitte jemand sagen, wie ich bei dieser Folge: Wolfram|Alpha
Auf den Grenzwert komme?
Mein erster Gedankengang war, sqrt(2^n) < 2^n abzuschätzen, aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter.

lim sqrt(2^n) * lim 1/(2^n+1) geht auch nicht, da sqrt(2^n) keine konvergente Teilfolge ist.

Wahrscheinlich sehe ich grade den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe

Viele Grüße

09.04.2012, 20:51

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Folge
siehst du dass n gegen 0 gehen soll? lg

09.04.2012, 20:54

HIZTWV

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RE: Grenzwert einer Folge
Wie meinst du das? n soll gegen unendlich gehen, sorry hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen.
Kann ich die Folge nach oben abschätzen, indem ich sie quadriere?

09.04.2012, 21:22

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Folge
achso, sry, mein fehler, hab nur die erste zeile in wolfram alpha angeguckt und da wurde zuerst n->0 betrachtet.
jedenfalls kannst du die eigenschaft dass das ding eine nullfolge ist z.b. zeigen indem du den ganzen ausdruck einfach mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^n} \end{eqnarray*}$ krürzt. oder direkt mit definition für konvergenz: $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sqrt{2^n}}{2^n+1} \right|\leq \frac{\sqrt{2^n}}{2^n}=... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Kann ich die Folge nach oben abschätzen, indem ich sie quadriere?

nur wenn alle folgenglieder >=1 sind - sind sie nicht. das würde auch denke ich nicht viel bringen.

lg

09.04.2012, 21:39

HIZTWV

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RE: Grenzwert einer Folge
Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2^{n} } }{2^{n}+1 } \leq \frac{\sqrt{2^{n+1} } }{2^{n+1}+1 } \end{eqnarray*}$ ?

Beim Kürzen ist mir ein Fehler unterlaufen, muss ich nochmal rechnen.

09.04.2012, 21:45

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2^{n} } }{2^{n}+1 } \leq \frac{\sqrt{2^{n+1} } }{2^{n+1}+1 } \end{eqnarray*}$ ?

womit denkst du meine ich das?
aber nochmal damit wir nicht aneinander vorbeireden: willst du wissen wie man beweist dass das eine nullfolge ist, oder willst du wissen wie man sieht (also darauf kommt) dass das ne nullfolge ist? lg

09.04.2012, 21:56

HIZTWV

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RE: Grenzwert einer Folge
Eigentlich will ich die Konvergenz einer Reihe nachweisen, und bin durch den Cauchy Verdichtungssatz auf die Folge gekommen, die ich bei WA auf Konvergenz untersucht habe.

Ich dachte, du möchtest mir die Definition einer fallenden Folge ans Herz legen, wobei ich bei der Definition jedoch leider das Größer Als Zeichen durch ein Kleiner Als Zeichen vertauscht habe.

Dennoch hab ichs jetzt glaube ich gelöst:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{2^{n}}{\sqrt{2^{n}} } + \frac{1}{\sqrt{2^{n} } } } = \frac{1}{\sqrt{2^n} + \frac{1}{2^n} } \end{eqnarray*}$

Was nun eindeutig eine Nullfolge ist smile

09.04.2012, 21:59

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Folge
da hst du auf der rechten seite im nenner vom nenner die wurzel vergessen, aber genau, dass ist dann ziemlich offenbar eine nullfolge. lg

09.04.2012, 22:05

HIZTWV

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RE: Grenzwert einer Folge
Upps, stimmt smile

Auf meinem Blatt steht sie aber..

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe

10.04.2012, 15:56

HIZTWV

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Eine kleine Frage noch:
Ich hatte eine Reihe, auf die hab ich den Verdichtungssatz angewendet und hab dadurch diese Nullfolge bekommen.
Wenn ich jetzt mit nicht weiterarbeite (Wurzel, Quotientenkriterium) dann bringt mir das Ergebnis doch absolut gar nichts, oder? Gut, das Trivialkriterium wurde nicht verletzt, aber das wars auch schon, richtig?

10.04.2012, 18:02

weisbrot

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deine reihe sollte wohl ungefähr so aussehen: $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}+n} \end{eqnarray*}$ ?
dasergebnis bringt dir schon unter umständen etwas. guck mal mein anderen post:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sqrt{2^n}}{2^n+1} \right|\leq \frac{\sqrt{2^n}}{2^n}=... \end{eqnarray*}$

- damit kannst du sicher etwas anfangen. lg

10.04.2012, 22:22

HIZTWV

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Die Reihe wäre:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt{n}+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Kann ich das dann wohl als geometrische Reihe auffassen?
Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty q^{n} \end{eqnarray*}$ wobei q in dem Fall ja <1 wäre.

(PS: Also konvergente Majorante)

10.04.2012, 22:57

weisbrot

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ja stimmt so sieht se aus. und der rest auch: genau!

10.04.2012, 22:58

HIZTWV

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Und somit wurde wieder eine Querverbindung mehr im Hirn geschaffen, vielen lieben Dank für deine Geduld smile

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