Markov-Kette und Übergangsmatrix

09.04.2012, 22:11

kiarashayla84

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Markov-Kette und Übergangsmatrix

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich hab ein Problem mit Markov-Ketten und Überganzmatrizen.
Ich habe folgende Aufgaben:
1.
Gegeben sei eine Markovkette mit Übergangsmatrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/6 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \left[p^{n}\right]_{i,j}>0 \forall i,j \in {1,2,3} \end{eqnarray*}$
Angenommen die Kette startet im ersten Zustand. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach zwei Schritten im dritten Zustand ist.

2.
Als Markov-Kette mit Zustandsraum S = {sonnig,bewölkt, regnerisch}.
Hierzu nehmen wir optimistischerweise die folgende Übergangsmatrix an:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4/5 & 1/5 & 0 \\ 2/5 & 2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 3/5 & 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Am Dienstag, 13. Mai, war das Wetter sonnig. Berechnen Sie, ausgehend vom obigen Modell, die Verteilung des Wetters am Dienstag, 26. August, also die Wahrscheinlichkeiten, dass das Wetter an diesem Tag sonnig, bewölkt oder regnerisch sein wird! (Hinweis: Zwischen dem 13.Mai und dem 26. August vergehen 105 Tage. Geeignetes Runden ist ausdrücklich erwünscht)

Meine Ideen:
leider komm ich mit den Aufgaben überhaupt nicht zurecht. Ich habe schon im Internet geschaut aber ich versteh es nicht so richtig. Mir fehlt leider schon das Verständniss, wie ich aus Markov-Ketten die Übergangsmatrix aufstelle bzw. wie ich die Übergangsmatrix "lesen" soll.
Im Internet finde ich dazu keine wirkliche beschreibung (so das ich es auch verstehe xD )
Ich hab zumindest schon einmal rausgefunden, dass die Zeilensumme immer 1 beträgt. Aber wie gehe ich denn vor? Wenn ich im ersten Zustand beginne, welcher Eintrag beschreibt denn welchen Zustand und wie rechne ich das dann??? Ich bin grade völlig überfordert mit diesen Aufgaben.
Ich hoffe mir kann jem. bei den Aufgaben weiter helfen =)

10.04.2012, 10:20

Claire1234

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RE: Markov-Kette und Übergangsmatrix
Hallo,

ich hab dir mal die Markovkette zur Übergangsmatrix in 1 in der PDF [attach]23906[/attach] dargestellt.

Der Pfeil der von der 1 auf die 1 geht ist der Punkt 1,1 in der Matrix.
Dann von 1 auf die 2 ist der Punkt 1,2.
Von 1 auf 3 ist der Punkt 1,3.
Von 2 auf 1 ist er Punkt 2,1.......

Ist dir das jetzt verständlicher?

Lg
Claire

10.04.2012, 10:25

Airblader

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Für die erste Aufgabe ist die Gleichung von Chapman-Kolmogorov übrigens hilfreich, bei der zweiten sollte man dann wohl das Grenzverhalten in Betracht ziehen, es gibt hier für Markovketten unter gewissen Voraussetzungen einen netten, zentralen Satz. Beides sollte in der Vorlesung drangekommen sein.

air

10.04.2012, 11:47

Rik

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Hey,

Man kann doch für den ersten teil der 1 auch einfach nur ein paar Potenzen der Matrix ausrechnen, normalerweiße reichen 2-3, und schauen ob jeder Eintrag größer Null wird.

Ich hatte diesen Semester selber Stochastik, und wir hatten die Chapman-Kolmogorov leider nicht. (bzw. ich hab sie auch im moment in keinen Skript oder im Georgii gesehen) smile

smile

Mfg

10.04.2012, 13:15

kiarashayla84

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Hi,

danke Claire1234, die pdf hat mir sehr geholfen, jetzt versteh ich wenigstens, wie diese Matrizen zustande kommen.

Die Gleichung von Chapman-Kolmogorov hatten wir leider noch nicht.

Ich hab grade noch mal versucht was raus zubekommen und bin auch ein Bsp. gestoßen:

http://www.cl.uni-heidelberg.de/kurs/skripte/stat/html/fig_nonsensemark.png

Die Wahrscheinlichkeit für den Satz „eine rose ist eine rose.” ist nach unseren Überlegungen oben
1*0,7*0,9*0,7*0,7=0,031

kann ich das bei mir auch so machen?

Also ich soll im Zustand 1 beginnen und nach 2 Schritten im 3. Zustand sein. Bei mir gibt es ja zwei Wege, also würde ich das dann so machen:

beginnen in 1 nach 2 nach 3 + 1 nach 3 nach 3

1/2*1/3*1/4+1/2*1/6*0= 1/24 also rund 0,041

geht das so? bzw wäre das auch richtig?

danke schon mal =)

10.04.2012, 13:34

Rik

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Hey,

Die idee ist schon richtig mit den Addieren der verschiedenen Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen "weg-Möglichkeiten"

Der erste Teil ist meiner Meinung nach aber falsch:

Du hast ja nur 2 Schritte zur "verfügung" also $\begin{eqnarray*} 1=>2=>3 \end{eqnarray*}$ des wäre ja dann die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 1 zum Zustand 2 zu gelangen mal der Wahrscheinlichkeit vom Zustand 2 zum Zustand 3 zu gelangen.

Den schritt $\begin{eqnarray*} 1=>3=>3 \end{eqnarray*}$ kannste ja vernachlässigen, wir wissen ja, das vom Zustand 3, wir mit null Wahrshcienlichkeit wieder ins Zustand 3 landen.

Du hast aber noch ein weg mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ vergessen.

Mfg

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10.04.2012, 17:26

kiarashayla84

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Hi,

ok das stimmt, da ich ja mit 0 multi. kann ich den auch vernachlässigen.
Wenn der jetzt $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ wäre, müsste ich das aber so machen?

"Du hast aber noch ein weg mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ vergessen."

Wie meinst du das jetzt?

10.04.2012, 20:08

Rik

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Ja das es noch ein weg gibt indem du in zwei Schritten von 1 auf die 3 kommst.

$\begin{eqnarray*} 1=>2=>3 \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} 1=> ? => 3 \end{eqnarray*}$

10.04.2012, 20:16

kiarashayla84

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achso...das hab ich wohl komplett übersehen, aber ich kann ja zweimal die 1 nehmen oder?
also:

1 -> 1 -> 3 ?

das muss ich aber mit dem anderen Weg addieren, das wars dann?

10.04.2012, 20:19

Rik

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Genau

Freude

10.04.2012, 21:33

kiarashayla84

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cool, danke dann hab ich ja schon mal einen Teil der Aufgaben!

10.04.2012, 21:59

Rik

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Ja!

smile

Für den zweiten Teil der ersten Aufgabe siehe was ich vorhin geposted habe:

Zitat:

Man kann doch für den ersten teil der 1 auch einfach nur ein paar Potenzen der Matrix ausrechnen, normalerweiße reichen 2-3, und schauen ob jeder Eintrag größer Null wird.

Denn wenn du beweisen kannst das es ab ein gewissen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Matrix keine Nulleinträge hat, dann folgt daraus das die Matrix zur n-ten Potenz keine Nulleinträge hat. Somit gilt dann der Ergodensatz.

Mfg

10.04.2012, 22:38

kiarashayla84

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hi,

ok da aber in meiner Matrix Nulleinträge vorhanden sind, habe ich beim Potenzieren ja auch immer Nulleinträge drin, bekomme demzufolge kein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N > 0 \end{eqnarray*}$ ?

oder sehe ich das falsch?

10.04.2012, 22:47

Rik

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Leider Falsch... unglücklich

unglücklich

Nimm zum Beispiel die Matrix A:

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die hat einen Nulleintrag, jedoch hat $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ keine Nulleinträge mehr.

- Die Nulleinträge, von Potenzen von Matritzen mit Nulleinträge können verschwinden.
- Potenzen von Matrizen ohne Nulleinträge, werden auch nie Nulleinträge haben.

Probier einfach mal die Übergangsmatrix zu potenzieren, und schau was passiert...

10.04.2012, 23:41

kiarashayla84

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ok bei der Matrix bekomm ich

$\begin{eqnarray*} A^2 := \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok die Matrix aus der Aufgabe ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} P^2 := \begin{pmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/6 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/6 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1/24 \begin{pmatrix} 12 & 8 & 4 \\ 9 & 12 & 3 \\ 18 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hoffe das stimmt so..also hab ich mit n=2 schon ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N >0 \end{eqnarray*}$

11.04.2012, 09:45

Rik

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Hey

Naja, noch nicht ganz, hast ja noch eine Null in deiner matrix!
Dein Ziel ist das alle Nulleinträge verschwinden, damit du dann sagen kannst, das für die n-te Potenz, die Matrix immernoch alle Einträge größer Null haben wird.

Wieso jetzt genau alle Einträge größer Null sein müssen, folgt aus den Ergodensatz für Markov-Ketten. Ich finde es hier im Georgii ziemlich gut erklärt!

smile

smile

11.04.2012, 13:32

kiarashayla84

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ach sry, anscheint war ich gestern nicht ganz auf der Reihe...liegt bst an den Ohrenschmerzen die ich seit Tagen hab..aber ich hab die 0 unten in der Reihe echt nicht gesehen...gut dann muss ich das wohl nochmal machen..aber jetzt weis ich wenigstens wie =)^^

11.04.2012, 15:06

Rik

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Passiert ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute Besserung! smile

smile

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