Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
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09.04.2012, 22:51 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Meine Frage:
Hallo an alle,
ich bearbeite im Moment meine GFS in Mathematik zum Thema "Exoten unter den Funktionen" und soll hierfür 3 Funktionen, nämlich:
f(x)=sin(1/x)
f(x)=x*sin(1/x)
f(x)=x^2*sin(1/x)
untersuchen.
Nun habe ich ein Problem bei der Frage, welche der drei Funktionen im Punkt x=0 differenzierbar ist. Ich soll diese Frage mit dem Begriff der Stetigkeit beantworten.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Viele Grüße

Meine Ideen:
Bisher bin ich bei der Bearbeitung der erstern Funktion f(x)=sin(1/x) und bin hier zu dem Schluss gekommen, dass diese Funktion im Punkt 0 nicht stetig ist, da sin(1/x) für x -> 0 sin(unendlich) wäre und dieser nicht existiert, da unendlich keinem definierten Wert entspricht.
Leider bin ich mit meiner "Begründung" selbst nicht so einverstanden und würde das ganze gerne durch eine Rechnung beweisen.
Durch ewige Recherchen im Internet bin ich nun leider etwas verwirrt, da ic ständig etwas von "Folgen" lese und damt nichts anfangen kann, da wir solche "Folgen" in de Schule nicht behandelt haben.
Gäbe es nicht noch eine andere Möglichkeit die Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit dieser Funktionen nachzuweisen?
09.04.2012, 22:58 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Wie habt ihr denn die Stetigkeit definiert? Über Grenzwerte? Und wenn ja: Wie habt ihr Grenzwerte definiert?

mfg,
Ché Netzer

PS: Und was versteht ihr denn unter "Exoten"? smile
09.04.2012, 23:05 Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Hallo, ist Dir denn klar, wie Stetigkeit mit Differentierbarkeit zusammenhängen, d.h., wieso Du den Nachweis, ob die Funktionen im Punkt differentierbar ist, dadurch beantworten kannst, indem Du untersuchst, ob die Funktion stetig in ist?


Also für den Nachweis der Stetigkeit hast Du zwei gängige Möglichkeiten:

1.) Folgenkriterium der Stetigkeit

2.) Epsilon-Delta-Kriterium


Welcher Weg Dir besser liegt, weiß ich natürlich nicht. Ich würde hier das Epsilon-Delta-Kriterium wählen.
09.04.2012, 23:11 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Unter Exoten versteht mein Mathebuch bzw. mein Mathelehrer wohl die oben genannten drei Funktionen.
Stetigkeit wurde bei uns in sofern definiert, als das eine Funktion die stetig verläuft keine "Sprünge" besitzt, also keine x- Werte für welche zwei Funktionswerte möglich sind.
Den Grenzwert hatten wir letztes Jahr behandelt und sind über den Differenzenquotient zu Ableitung gekommen. Wobei ich versucht habe den Differenzenquotient zu bilden, was mit jedoch nicht gelungen ist unglücklich
09.04.2012, 23:14 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Hallo Dennis smile
ja also ich denke schon das mir das soweit klar ist, denn wenn eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist so muss sie in diesem Punkt auch stetig sein, ist sie nicht stetig so ist sie auch nicht differenzierbarl. Wenn sie jedoch stetig ist muss die Differenzierbarkeit soweit ich weiss durch den Differenzenquotient nachgeweißen werden, da man nicht sagen kann, dass stetige Funktionen auch differenzierbar sind.
Ich hoffe das war jetzt richtig o.O

Danke für deine beiden Vorschläge, jedoch ist mir bisher keiner der beiden bekannt :X
09.04.2012, 23:15 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Das war aber eine ziemlich unpräzise Definition von Stetigkeit geschockt
Da habt ihr wirklich nichts genaueres? Steht das im Buch auch nur so?

Und wie habt ihr die Grenzwerte denn definiert? Mit Epsilon und Delta?
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09.04.2012, 23:17 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Nein über Stetigkeit wurde nichts genaueres gemacht. Wir hatten letztes Jahr einen anderen Mathelehrer und der jetzige hat das ganz vorausgesetzt und nicht mehr wiederholt.
Unsere Definitipn des Grenzwerts sah so aus:
lim (f(x)-f(xo))/x-xo oder verwechsle ich da jetzt was gravierend? unglücklich
09.04.2012, 23:20 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Dann sieh mal nach, was im Buch zur Stetigkeit steht. Nach der bisherigen Definition würde ja eine Skizze als "Beweis" ausreichen...

Und das, was du da aufgeschrieben hast, war der Differentialquotient, also die Ableitung. Da wurde der Grenzwert schon verwendet.
09.04.2012, 23:22 Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Das Problem ist, daß man mit dieser vagen/ intuitiven Stetigkeitsdefinition keinen vernünftigen Beweis hinbekommt. Du solltest Dich wenigstens mit einer der oben genannten Definitionen vertraut machen, wenn Du vernünftig beweisen willst.


Edit: Ich glaube, es sollen nicht so viele durcheinander helfen, also zieh ich mich mal zurück.
09.04.2012, 23:24 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Den Begriff Stetigkeit habe ich bereits recherchiert und er taucht weder im Buch der Eingangsklasse noch im Jahrgangsstufenband auf.
Wegen dem Grenzwert. WIe genau wird dann der Grenzwert definiert? Ich glaub ich steh grad echt auf dem Schlauch -_- tut mir leid
09.04.2012, 23:27 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Den Grenzwert definiert man normalerweise über Folgen. Daher würde mich auch interessieren, wie ihr ihn definiert habt. Oder habt ihr das auch wieder nur anschaulich gemacht?

Ansonsten frag doch mal deinen Lehrer, welche Definition von Stetigkeit er erwartet bzw. welche du benutzen sollst.
09.04.2012, 23:30 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Ich habe nun mal in meiner Formelsammlung nachgeschaut und da steht eine Definitipn zur Stetigkeit drin, die glaube ich genauer ist:
Eine Funktion f heißt an der Stelle xo stetig, wenn der Grenzwert von f für x gegen xo existiert und mit dem Funktionswert f(xo) übereinstimmt.
lim x->xo f(x)= f(xo)

Bekomme ich mit diesem Wissen einen aussagekräftigeren Beweis hin?
09.04.2012, 23:35 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Also den Grenzwert anhand von Folgen haben wir nie behandelt.
Das wurde vielmehr anschaulich gemacht während wir das Kapitel Ableitungen durchgenommen haben, also explizit der Grenzwert bei Funktionen.
Die notierte Definition war folgende:
a heißt der Grenzwert einer Funktion f für x ->xo wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge (xn) mit x ungleich xo gilt lim x->x0=a

Hilft mir das weiter?
09.04.2012, 23:36 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Ja, wenn du sie verstehst.

Um gegen 0 zu gehen, können wir z.B. () in die Funktion einsetzen und k dabei immer größer werden lassen. Dann erhalten wir . Siehst du, warum das bei wachsendem k (d.h. wenn das, was wir in sin(1/x) einsetzen, immer kleiner wird) keinen Grenzwert haben kann, also auch nicht mit f(0) übereinstimmen kann?
09.04.2012, 23:39 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Dann hattet ihr doch Folgen?

Wenn ja, dann betrachte - wie eben - .
09.04.2012, 23:43 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Also wenn das was in sin(1/x) eingesetzt wird immer kleiner wird, wird ja sin(1/x) irgendwann zu sin(1) oder nicht?
Es existiert ja garkein Funktionswert für x=o bei sin(1/x) da der Wert x=0 aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wird- dann kann ich ja nicht mit dem Funktionswert vergleichen oder?
09.04.2012, 23:50 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Mit Folgen etwas bewießen oder berechnet haben wir nicht. Ich bin da sowas von Unwissend, alleine schon was der Begriff eigetlich genau bedeuten soll. Tut mir leid.
Ich hatte das mit den Folgen damals so verstanden.
Wenn wir für x z.B. den Wert x=5 haben und xo=3 dann stellen wie Folgen die Werte zwischen x und x0 dar- sozusagen jene Werte die bei der Annäherung von x nach x0 "überwunden" werden.
Wrscheinlich ist diese Annahme kompletter schwachsinn oder?
10.04.2012, 00:00 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Ich schätze, man definiert f(0)=0 und schließt so die Definitionslücke. Wenn man die Funktion nur außerhalb der Null definieren würde, wäre sie stetig.

Und wenn das, was man (für x) in sin(1/x) einsetzt, immer kleiner wird, dann wird das zu "" (was nicht existiert).

Das mit der Folge ist auch nicht richtig. Stell dir eine Folge als unendliche Abfolge von Zahlen vor, die man durchnummeriert. Der Grenzwert einer Folge (wenn einer existiert!) ist der, dem die Glieder der Folge immer näher kommen (wenn man immer "höhere" Folgenglieder betrachtet, also den Index erhöht). (ist aber auch nur anschaulich formuliert) Wenn wir jetzt die Folge wählen, geht die gegen 0, weil der Bruch bei wachsendem k (das stammt ja aus den natürlichen Zahlen) immer kleiner wird (was i.a. aber nicht für einen Grenzwert ausreicht). Bei einer stetigen Funktion müsste nun der Grenzwert von existieren - tut er aber nicht.

Naja, du solltest wie gesagt nochmal mit deinem Lehrer über die Aufgabe sprechen; welche Definitionen du da benutzen sollst und was als Beweis ausreicht.

Ich gehe jetzt übrigens schlafen, wenn jemand möchte, kann er dir hier weiter helfen. (morgen werde ich auch erst nachmittags wieder hier sein)
10.04.2012, 00:03 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Achgott bin ich doof Big Laugh das hatte ich ja in meinem ersten Post gesagt, dass wenn x->0 geht man sin(unendlich) erhält und das nicht definiert ist. Ich wusste nur nicht ob das als Begründung ausreicht.
Naja ich werde jetzt mal daran weiterknobeln. Danke für die Hilfe smile Gute Nacht
10.04.2012, 00:05 Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wieso Du Dir nicht einfach mal die Definitionen (z.B. bei Wikipedia) anschaust für Folge, Grenzwert, Stetigkeit.


unglücklich


Alles Andere bleibt doch sonst immer nur intuitiv und nur anschaulich.
10.04.2012, 00:07 thk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Zitat:
Original von Che Netzer
Ich schätze, man definiert f(0)=0 und schließt so die Definitionslücke. Wenn man die Funktion nur außerhalb der Null definieren würde, wäre sie stetig.

Hallo,

sin(1/x) kommt an der Stelle x=0 jedem Funktionswert des Wertebereichs beliebig nahe und hat dort daher eine wesentliche Singularität.

Es gibt also keinen Grenzwert und daher ist sie auch nicht hebbar unstetig. Bissl *gemein* von eurem Lehrer, so etwas aufzutischen...

Die Vorschlag für eine Folge von Ché Netzer argumentiert eigentlich schon gegen einen Grenzwert.

LG

Edit: überschnitten
10.04.2012, 00:35 Romi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich das schon habe und mir unter solchen Definitionen recht wenig vorstellen kann. Ich muss mir das einfach immer erst veranschauolichen damit ich es selbst verstehe- sonst kann ich das meiner Klasse nicht näher bringen.
Aber danke für die Hilfe smile
10.04.2012, 00:38 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit f(x)=sin(1/x)
Dankeschön für die zusätzliche Hilfe smile
13.04.2012, 18:30 kelser Auf diesen Beitrag antworten »
Unstetigkeit von sin(1/x)
Also betrachte man nacheinander die Zahlen x0=0Pi+ Pi/2, x1=2Pi+Pi/2, x2=4Pi+Pi/2 ...xn=2nPi+Pi/2.
Für diese Zahlen gilt sin(x0)=1; sin(x1)=1 ;sin(x2)=1; ...; sin(xn)=1.

Betrachtet man jetzt y0=1/x0: y1=1/x1;y2=1/x2; ... yn=1/xn so werden diese Kehrwerte immer kleiner, da der Zähler ja konstant ist und der Nenner immer größer wird. Außerdem sind die Kehrwerte immer positiv, weil die xn ja positiv sind.
Also bewegen sich die Kehrwerte yn auf die 0 zu. Sie bilden eine Nullfoge.
Für sie gilt:
sin(1/y0) = sin(1/1/x0) = sin(x0)=1
sin(1/y1) = sin(1/1/x1) = sin(x1)=1
sin(1/y2) = sin(1/1/x2) = sin(x2)=1
...
sin(1/yn) = sin(1/1/xn) = sin(xn)=1

Und wenn man den Grenzwert für diese Folge bildet, so ist er 1, da jedes Folgenglied den Wert 1 liefert. (konstante Folge)

Wenn man das gleiche für z0= x0+Pi; z1 = x1+Pi; z2 =x2+pi;... zn = Xn+Pi macht,
so bilden die Kehrerte der zn ebenfalls eine Nullfolge.
Aber es gilt: sin(1/1/z0)=-1; sin(1/1/z1)=-1; sin(1/1/z2)=-1 ; ... sin(1/1/zn) =-1
Und das ist ebenfalls eine konstante Folge, deren Grenzwert aber leider -1 ist.
Wenn man also bei der Annäherung an 0 mal mit derFolge der Funktionswerte mal bei 1, mal bei -1 landet, dann kann es keinen für alle Annäherungen gleichen Grenzwert geben. Deshalb existert der Grenzwert von sin(1/x) für x gegen 0 einfach nicht!
Anschaulich: Wenn man im Schneckentempo auf der Kurve y=sin(1/x) von rechts sich dem x-Wert 0 zu nähern versucht, dann muss man anfangs "langsam", später immer "schneller" zwischen den Funktionswerten y =1 und y=-1 wechseln( oszillieren, mit der konstanten Amplitude 2). Deshalb gibt es kein y gegen das man letztendlich als einziges strebt.



Das Plotprogramm ist nicht gut genug für die Annäherung an x=0!!! Aber es gibt bessere, die wenigstens ein paar ganze Perioden zeigen.



Ich hoffe klar genug geschrieben zu haben.
13.04.2012, 20:15 Romi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unstetigkeit von sin(1/x)
Wow okay, danke die Erklärung ist echt prima!
Aber inzwischen bin ich glücklicherweise selbst auf die Lösung gekommen, dem "aha" Moment nach langen Grübeleien sei dank Big Laugh
Aber vielen Dank, solche Beiträge sind echt gold wert smile

Liebe Grüße
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