Gesetzmässigkeit bei Primzahlen gefunden?

10.04.2012, 12:38

m_OO_m

Gesetzmässigkeit bei Primzahlen gefunden?

Hallo zusammen,

ich wollte hier eine Beobachtung vorstellen, die m.E. auf eine Gesetzmäßigkeit bei Primzahlen hinweist. Wir waren mit einem Verwandten die Tage am Überlegen, ob es so etwas gibt. Da wir beide Ingenieure sind, haben wir nach einer empirischen Lösung gesucht.
Eine Primzahl ist ja eine solche Zahl, die innerhalb von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{>1} \end{eqnarray*}$ (*) nur durch sich selbst teilbar ist. Wir haben also versucht, die Punktewolke zu zeichnen und daraus irgendwelche Abhängigkeiten zu erkennen, also $\begin{eqnarray*} z=xy \end{eqnarray*}$ . Dann nahmen wir die Wolke „schichtenweise“ unter die Lupe – mein Verwandter hatte die Idee, nach etwas wie das Newtonsche Binom zu suchen. Was dabei für einen bestimmten Wert von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ herauskam, ist klar: $\begin{eqnarray*} y=k/x \end{eqnarray*}$ , also die Umkehrfunktion.
Innerhalb von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{>1} \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion ebenfalls eine Punktewolke, die allerdings auch hier symmetrisch ist, die Symmetrieachse ist die Funktion $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ . Hier ein Beispiel mit der Zahl 18 (Bild 1).
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Warum das so ist, ist auch klar: wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation. Die Punktewolke für eine Primzahl besteht aus 0 Elementen: $\begin{eqnarray*} n/n = 1 \end{eqnarray*}$ und 1 ist ausgeschlossen (s. *). Die Punktewolke für $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ besteht aus einem Punkt, nämlich $\begin{eqnarray*} \left(n;n\right) \end{eqnarray*}$ (Bild 2).
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Dann hatte ich die Idee, die Abstände der einzelnen Punkte von der Symmetrieachse zu messen (Bild 3).
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Daraus entstand dann folgendes Bild (Bild 4). Primzahlen sind hier gelb.
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Eine Primzahl entsteht also dann, wenn innerhalb von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{>1} \end{eqnarray*}$ keine der im aktuellen Abschnitt des Zahlstrahls enthaltenen Geraden einen Wert produziert (Durch die Symmetrie der Umkehrfunktion braucht man den grau markierten Abschnitt der Punktewolke nicht zu betrachten).
Man könnte es auch mechanisch lösen, mit Zahnrädern mit passender Anzahl Zähne, die von einer Zahnstange in Bewegung gebracht werden. Eine Primzahl liegt vor, wenn sich keines der Zahnräder in der Ausgangsposition befindet (im Bild 5 also keine Primzahl).
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Man könnte also im Bereich $\begin{eqnarray*} \left\{ n^{2}...\left(\left(n+1\right)^{2}-1\right) \right\} \end{eqnarray*}$ alle Primzahlen suchen, indem man für die entsprechenden $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Geraden diese Lücken ermittelt.
Ich habe ein java-Programm geschrieben, das in einer Schleife in Richtung $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ läuft, dabei die Geraden beobachtet und bei entsprechenden Ereignissen die Zahl ausgibt. (Die Denke ist im Bild 4 als binäre Logik abgebildet, s. rechten Rand). Die Ergebnisse passen.
Aber ich habe keine Idee, wie sich das in Form einer Funktion aufstellen lässt… Das war auch die Frage, die in meinem ersten Thread enthalten war.
Was meint ihr?

10.04.2012, 13:33

m_OO_m

Gesetzmässigkeit bei Primzahlen gefunden?

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