Kurvendiskussion mit der e-Funktion

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Kurvendiskussion mit der e-Funktion
Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion f(x)= (e^x - 2)^2

a) Untersuchen sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendestellen.
b) Wie verhält sich die Funktion f für x -> +/- (unendlich)
c) Bilden sie die Stammfunktion F von f
d) Bestimmen sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f und den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eingeschlossen wird.
e) Wo schneidet die Wendenormale die x-Achse?
f) Bestimmen sie die Schnittstellen von f und g(x)= e^x.
Für welchen Wert von x zwischen diesen Schnittstellen ist der Abstand von f und g (d.h. die Differenz der Funktionswerte von f und g) am größten?

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen, da wir noch nicht lange mit der e-Funktion rechnen. Ich habe leider keinen Ansatz auf Lager....

Danke schonmal für eure Hilfe.
Wäre echt nett, wenn mir jemand bei der Beantwortung helfen könnte.
DANKE
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es den erst einmal mit Ableiten??
Nullstellen sollten auch noch machbar sein.

Einmal und einmal
 
 
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f '(x) = 2e^x (e^x - 2)


0 = (e^x - 2)^2
0 = e^x2 - 4e^x + 4 l -4
-4 = e^x2 - 4e^x

und dann kommt was?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung stimmt soweit.

Lasse die Gleichung gleich Null und substituiere dann pq-Formel und rücksubstitution nicht vergessen.
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0 = e^x2 - 4e^x + 4

0 = z^2 - 4z + 4

z = 2

e^x2 - 4e^x + 4 -> 4 - 16 + 4 = -8
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

???

Was hast du dort getan.

Wenn du Rücksubstituierst, dann musst du



Und das ausrechnen.
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na das hab ich doch getan

e^x2 - 4e^x + 4 ->

dann setze ich für e^x die 2 ein

dann steht da

2^2 - (4*2) + 4 -> 4 - 8 + 4 = 0

so...
hab mich doch verrechnet!

also liegt dann die nullstelle bei (0/0)..
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

?

Du hast vorher gesetzt.

Jetzt kriegst du raus .

Dann musst du aber nun wieder setzen und dies nach x auflösen um deine tatsächliche Nullstelle zu erhalten.
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Ableitung stimmt soweit.

Lasse die Gleichung gleich Null und substituiere dann pq-Formel und rücksubstitution nicht vergessen.


Sorry aber das ganze ist doch unnötig

0 = (e^x - 2)^2 -->
0 = e^x - 2

--> x=...

smile
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erst einmal tut es mir leid, dass ich dich so nerve und dazu auch anscheinend deine Nerven strapaziere...
sorry Hammer

dann hab ich doch

2= e^x

dann muss ich doch ln nehem

und zwar

x = ln2

x= 0.693...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@thk: Dessen bin ich mir doch tatsächlich bewusst, darauf hätte ich am Ende hingewiesen.
Ich finde wenn man einen solchen "Fehler" macht, dann ist es einprägsamer wenn man einmal den komplizierten Weg gegangen ist.

Jetzt hast du mir die schöne Pointe vermasselt. Big Laugh

Edit: Du strapazierst meine Nerven überhaupt nicht. Da gibt es schlimmere Fälle.
Mich bringt so schnell nichts aus der Ruhe. Augenzwinkern

Kannst du den Tipp von thk nachvollziehen.
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich kann den tipp nachvollziehen von thk

da bin ich aber beruhigt... dass ich nicht all zu doll nerve

stimmt dann jetzt mein ergebnis? x = 0.693...

danke
jetzt weiß ich aber nicht, wie man die 2. und 3. ableitung von f bildet.. traurig
könntest du mir dabei bitte auch noch helfen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar kann ich dir dabei auch helfen.

Bilde sie erstmal so wie du die erste gemacht hast und poste sie. Ich guck dann drüber.
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

okay..



f '(x) = 2e^x (e^x - 2)

f ''(x) = 2e^x^2 (e^x - 2)


also ich finde die 2. sieht schon falsch aus
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Wie kommst du auf das ?
thk Auf diesen Beitrag antworten »

@ Gmasterflash

Naja wenn sich dann nicht der komplizierte Weg eingeprägt hat verwirrt

Aber ich hatte natürlich die Hoffnung dass du das auch siehst smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich löse nicht das erste mal Gleichungen. Augenzwinkern
Dein Einwand ist natürlich berechtigt gewesen, aber ich hätte schon noch darauf hingewiesen.

Das sich der lange Weg einprägt, halte ich eher für unwahrscheinlich. Und selbst wenn, wäre das ja auch schon gut, auch wenn es eben länger dauert. Hauptsache man kommt auf die Lösung, oder?

Aber so hat man den deutlichen Unterschied zwischen "kurzem" und "langem" Weg gesehen.
Außerdem funktioniert diese Methode ja auch nicht immer und das Verfahren der Substitution war ja offensichtlich nicht so geläufig wie es hätte sein müssen. Deshalb war ne Wiederholung gut denke ich. Augenzwinkern
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ich weiß nciht wo das e^x^2 her kam...

ich dachte wieder an so was wie innere mal äußere ableitung
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dasx e^x^2 ist auf jeden Fall falsch. Mache daraus ein normales e^x, dann stimmt es.
Du solltest nochmal deinen Fehler versuchen zu finden, falls es kein Tippfehler war.
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also

f ''(x) = 2e^x (e^x - 2)

aber dann ist es doch wie die erst ableitung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte mich oben verguckt.

Es muss

heißen.
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okay...



also

f ''(x) = 2e^x (2e^x - 2)

und

f '''(x) = ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommst du den selber auch auf die korrekte 2te Ableitung?
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt nein... verwirrt

ich hab bei der e-funktion keinen plan...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Ableitung hast du doch auch richtig hinbekommen.
Probiere mal die 2te Ableitung nochmal. Wenn du es trotzdem nicht hinbekommst, musste wohl den Rechenweg posten damit ich dir sagen kann, wo der Fehler ist.
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f '(x) = 2e^x (e^x - 2)

f ''(x) = 2e^x (2e^x - 2) (mit der produktregel oder?)

f ''' (x) = 4e^x^2 + 2e^x (2e^x - 2)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist dein Problem? Es ist doch alles richtig. Big Laugh Freude
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

klasse danke..
das hab ich nur durch dich geschafft ;P

tausend dank
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn du es vielleicht etwas schöner aufschreiben solltest.
Du kannst da noch überall zusammenfassen.
Das minimiert für den späteren Verlauf auch den Rechenaufwand bzw. die Fehleranfälligkeit.
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

was soll ich denn da zusammenfassen...

meinst du so jetzt?

f '(x) = 2e^x (e^x - 2) = 2e^x^2 - 4e^x
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Joar so könntest du das machen. Bei der 1. Ableitung ist das aber auch nicht so notwendig wie bei der 2ten und 3ten.
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

also



f ''(x) = 2e^x (2e^x - 2) = 4e^x^2 - 4e^x

f ''' (x) = 4e^x^2 + 2e^x (2e^x - 2) = 4e^x^2 + 4e^x^2 - 4e^x = 8e^x^2 - 4e^x
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch in beiden Fällen das e^x ausklammern und dann ist es best möglich vereinfacht. Freude
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

oh gott....


f ''(x) = 4e^x^2 - 4e^x = e^x (4e^x -4)

f ''' (x) = = 8e^x^2 - 4e^x = e^x (8e^x - 4)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo. So ist es schön vereinfacht.
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Das sich der lange Weg einprägt, halte ich eher für unwahrscheinlich. Und selbst wenn, wäre das ja auch schon gut, auch wenn es eben länger dauert. Hauptsache man kommt auf die Lösung, oder?
@Gmasterflash nur mal ganz allgemein:

Ich selbst übersehe ja auch gern mal etwas... aber wenn du wie gesagt beim Vorschlag der Subst. schon den einfachen Weg im Hinterkopf hattest...

Nach meiner Erfahrung
(1) hat der einfachste Weg absolute Priorität und ist nahezu obligatorisch,
(2) musst du dann meist ungewollt den Einwand einstecken, wenn er kommt (ich ggf. auch),
(3) erntest du vor Publikum (nicht hier am Board) womöglich Undank und Unmut

Daher mein Credo immer "das kürzeste Matt" zeigen, und wenn sich dann wirklich jemand für eine Alternative noch interessiert...

Aber das Board ist ja gut um eingene Erfahrungen zu machen! Das ist nur meine, du kannst ja andere haben smile
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

gut...


und wie löse ich jetzt so eine gleichung

2e^x^2 - 4e^x = 0

???

mit der pq formel?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist es besser die ausgeklammerte Variante anzuwenden und dann über den Satz des Nullproduktes zu gehen.
2e^x wird nicht Null also ist nur die Klammer zu prüfen.


@thk: Ich habe deinen Einwand doch "eingesteckt". Das der einfachste Weg immer Priorität hat sehe ich auch so, aber der Fragesteller hat aus eigenen Stücken die Gleichung ausmultipliziert und da wir hier Hilfe zur Selbsthilfe geben habe ich das erstmal so hingenommen und hätte hinterher darauf hingewiesen, dass dies nicht notwendig ist.
Du hast deine Art zu helfen und ich habe meine.
Wenn du Dinge anders siehst, dann kannst du das gerne tuen.

Ich habe aber auch ehrlich gesagt kein Interesse daran, dass das hier noch in einen Streit ausartet.
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke so ist der weg besser

Freude genau das wollte ich nach längerem überlegen auch vorschlagen ;P

danke
Dove Auf diesen Beitrag antworten »

also es gibt ein tiefpunkt bei
(0.693 / 0) smile


nun zu den wendestellen
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