Lineare Abhängigkeit von Vektoren (mit Parametern)

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10.04.2012, 16:42	ForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit von Vektoren (mit Parametern) Meine Frage: Hallo, ich bin zur Zeit am lernen für eine Mathematikklausur und hänge an folgender Aufgabe fest, die schlichtweg nicht verstehe zu lösen. Originaltext aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch 11/12 (S. 256, Aufg. 5c) bzw. 5d)) Wie kann die reele Zahl a gewählt werdenm damit die Vektoren linear abhängig sind? c) (a³\|a²\|a); (1\|1\|1); (27\|9\|a^5) d) (-2\|a\|a-4); (3\|a\|a-3); (4\|a\|a+8) Primär versuche ich mich jedoch an Aufgabe c) und war in der Hoffnung auch d) hinzubekommen, sofern ich c) verstanden habe. Meine Ideen: Meine Ansätze sind: Für die lin. Abhängigkeit muss es ja eine weitere Lösung als die triviale Lösung geben. Also muss gelten: Koeffizienten habe ich t,r und s gewählt: tv1+rv2+s*v3=0 (v und 0 sind jeweils Vektoren) Nun wollte ich das mit dem Gaußverfahren lösen: a³t+1r+27s=0 a²t+1r+9s=0 at+1r+a^5s=0 Und ab hier scheitert es, da ich mich entweder dauernd verrechne, aus flüchtigkeit passiert mit das so manchmal, oder aber dass ich - was ich auch vermute - einfach nicht genau weiß, wie ich vorgehen muss. Ich habe zwar im Internet gegoogled, aber keine Lösungswege gefunden, die mal allgemein die Vorgehensweise zeigen. Die interessier mich aber. Ich bin um jede Hilfe dankbar. PS Determinaten hatten wir noch nicht, also bitte gleich abhaken
10.04.2012, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp 0: Für a=0 ist einer der Vektoren der Nullvektor, also sind die Vektoren linear abhängig. Tipp 1: Für a ungleich 0 kannst du den ersten Zeilenvektor durch a dividieren. Tipp 2: Wende den Gauss-Algoritmus an auf die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ a^5 & 9 & 27 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.04.2012, 19:55	ForrReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, erstmal danke für die Antwort @Tipp 0: Ah, Okay. Das kann man sich also auch als eine Art "Regel" merken, stimmt's? @Tipp 1: Bedeutet das durch a dividieren hier vielleicht sogar a vor den Vektor ziehen? @Tipp 2: Ich sehe zwar, wie Du zu dieser Matrix kommst, sprich sie wurde gedreht, nur da hab ich mal zwei Fragen: 1. Darf man das - einfach so? 2. Warum genau dreht man denn die Matrix? Soll heißen, ist das eine Methode die für solche Probleme genutzt werden kann? Danke im voraus ForReal PS: nicht wundern, ich wollte mich eigtl. bereit registriert haben, aber die Anmeldung bei meinem Provider hat Probleme mit dem Login, bis dahin kann ich noch nichts mit dem Namen iForReal schreiben
10.04.2012, 20:38	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusatzfrage: Sollte ich GENAU die obrige MAtrix lösen oder noch die Koeffizienten hinzufügen 1. Zeile z.B.: 1s + ar + a²t Danke
11.04.2012, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp 0 liefert eine Fallunterscheidung je nachdem ob $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Das bietet sich an, weil Vektoren linear abhängig sind, wenn ein Vektor x=0 ist (dann ist nämlich 1x+0...=0 eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors). Tipp 1 und 2 sind die ersten Schritte im Gauß-Algorithmus, wobei ich gleich die Variablen vertausche, um uns das Leben zu erleichtern. Eine 1 links oben ist immer gut, denn dann kann man die erste Spalte bearbeiten: Tipp 3: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1-a & 1-a^2 \\ 0 & 9-a^6 & 27-a^7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Tipp 4: Jetzt kommt wieder eine Fallunterscheidung, denn für $\begin{eqnarray} a\neq 1 \end{eqnarray}$ kannst du die 2. Zeile durch 1-a dividieren (Tipp 5: Binom !!!). Tipp 6: Für $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ ist die 2. Zeile 0 0 0 !!! Tipp 7: Jetzt musst du mal rechnen, sonst bin ich fertig, bevor du anfängst.
11.04.2012, 21:02	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich für die Hilfe, wollte aber einmal nen Statusupdate liefern: Kollegen meines Kurses meinten nun, bei dieser Aufgabe gilt es nicht zu rechnen. Daher meine Frage - stehe z.T. wie man mekrt noch auf'm Schlauch - Gibt's Tipps, wie man ohne Rechnen hier vorgehen kann? Also im Nachhinein denke ich mir, joar schön blöd, hätte man drauf kommen können, aber zuerst hatte ich keine Ahnung. MfG ForReal
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12.04.2012, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nun gar nicht. Wieso gibt es nichts zu rechnen ? Es gibt jede Menge zu rechnen, habe ich doch gemacht, und wir sind noch gar nicht fertig. Was haben denn deine superschlauen Kollegen ohne Rechnen herausbekommen ?
13.04.2012, 16:32	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, naja, bei c) ist die einfachste Lösung, die aber schon hier erwähnt wurde, dass Vektor $\begin{eqnarray} \vec a = \begin{pmatrix} a^3 \\ a^2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ offentsichtlich schonmal den Vektor $\begin{eqnarray} \vec v =\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt und somit der gesamte Satz von Vektoren linear abhängig ist. Gleiches gilt auch für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da der Koeffizient $\begin{eqnarray} k \neq 0 \end{eqnarray}$ , also nicht die triviale Lösung. Wenn $\begin{eqnarray} k\vec a \end{eqnarray}$ den Vektor $\begin{eqnarray} \vec u = \begin{pmatrix} 27 \\ 9 \\ a^5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ werden soll, lässt sich dies allerdings nicht von vornherein ablesen. MfG, ForReal
13.04.2012, 17:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Fälle a=0 und a=1 liefern linear abhängige Vektoren. Soweit waren wir schon. Und wie geht's weiter ? Was ist, wenn a von 0 und 1 veschieden ist ?
13.04.2012, 21:36	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, gehen wir nun davon aus, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec u = \begin{pmatrix} 27\\ 9\\ a^5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear abhängig sein sollen, dann müsste ja folgendes gelten: $\begin{eqnarray} r\vec v= \vec u \end{eqnarray}$ , da sie sich ja darstellen lassen müssten. Zusammen mit dem schon errechneten Vektor $\begin{eqnarray} \vec a = \begin{pmatrix} a^3\\a^2\\a\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wären sie ja abhängig, dass überprüfe ich nicht noch einmal. >> $\begin{eqnarray} r* \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 27\\ 9\\ a^5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sowie ich das sehe gibt es hierbei doch keine Lösung, da der Koeffizient $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ nie die Bedingung erfüllen kann, dass $\begin{eqnarray} r1=27 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r1=9 \end{eqnarray}$ . Dies gilt ja unnabhängig davon, wie a gewählt wird, oder nicht? Sonst wäre eben noch zu prüfen, ob $\begin{eqnarray} s\vec a = \vec u \end{eqnarray}$ >> $\begin{eqnarray} r \begin{pmatrix} a^3\\ a^2\\ a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 27\\ 9\\ a^5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ich finde genau diese Matrix zu lösen schwer. Deshalb hab ich mir auch mal vorgenommen - ob nun hier weiter nötig oder nicht - mir mal durchzulesen, was die Determinante ist. MfG ForReal
14.04.2012, 09:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist falsch. Wenn 3 Vektoren linear abhängig sind heißt das nicht dass jeweils 2 dieser 3 Vektoren linear abhängig sind. Du versuchst anscheinend, lineare Gleichungssysteme zu lösen, das ist in diesem Zusammenhang viel zu aufwendig. Determinanten sind nützliche Hilfsmittel um lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit festzustellen. Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante von 0 verschieden ist. Aber Determinanten berechnen stösst bei höheren Dimensionen sehr schnell an die Grenzen der Berechenbarkeit. Das richtige Hilfsmittel ist der Gaußsche Algorithmus - deshalb habe ich ihn auch in diesem Beispiel benutzt. Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilenstufenform der Matrix nach dem Gaußschen Algorithmus vollen Rang hat.

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