kronecker Symbol

10.04.2012, 16:42	Nico90	Auf diesen Beitrag antworten »
kronecker Symbol Meine Frage: Hi, ich hänge gerade in theoretischer physik fest und hoffe dass mir jemand auf die sprünge helfen kann. es geht um folgende Aufgabe. ( Verwendung Eissteinscher Summenkonvention) $\begin{eqnarray} \delta jl \delta lj \delta mn \delta mn \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nach der Summenkonvention müsste es so sein dass jeweils über die beiden doppelten Indices summiert wird. dann sollte dass ganze so aussehen : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n,m=1}^2 \delta nm \delta mn \sum\limits_{j,l=1}^2 \delta jl \delta lj \end{eqnarray}$ da dann gilt j=l und m=n müsste jedes $\begin{eqnarray} \delta xx \end{eqnarray}$ = 1 sein oder? demnach würde dort stehen 11+11 11+11 =4 Da ich davon ausgehe dass das komplett falsch ist würde ich mich über denkanstöße freun
11.04.2012, 09:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende folgende Regel an: Für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} a_j \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \delta_{ij}a_j=a_i \end{eqnarray}$ . Das Kronekerdelta ändert also lediglich den Index des Vektors $\begin{eqnarray} a_j \rightarrow a_i \end{eqnarray}$ . In Matrixschreibweise bedeutet die Beziehung $\begin{eqnarray} \delta_{ij}a_j=a_i \end{eqnarray}$ nichts anderes als $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & & \\ & ... & \\ & & 1 \end{pmatrix}}_{\delta_{ij}}\begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das Kronekerdelta repräsentiert also die Einheitsmatrix. Die obige Regel gilt auch bei mehrfach indizierten Größen $\begin{eqnarray} a_{klm...} \end{eqnarray}$ , wobei ebenfalls nur eine Umbenennung des jeweiligen Index stattfindet, also $\begin{eqnarray} \delta_{mn}a_{klm}=a_{kln} \end{eqnarray}$ usw.. --------------- Mit dieser Regel lässt sich $\begin{eqnarray} \delta_{jl}\delta_{lj}\delta_{nm}\delta_{mn} \end{eqnarray}$ leicht berechnen. Man erhält demnach durch Umbenennung des Index $\begin{eqnarray} l \rightarrow j \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} \delta_{jl}\delta_{lj}=\delta_{jj}=1+1+...+1=n \end{eqnarray}$ , wobei n die Raumdimension ist. Analog ist $\begin{eqnarray} \delta_{nm}\delta_{mn}=\delta_{nn}=n \end{eqnarray}$ , so dass wir insgesamt erhalten $\begin{eqnarray} \delta_{jl}\delta_{lj}\delta_{nm}\delta_{mn}=n^2 \end{eqnarray}$ .

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