Alle Stellen der differenzierbarkeit zeigen |x|*sin(x)

10.04.2012, 17:33

MarOl1992

Alle Stellen der differenzierbarkeit zeigen |x|*sin(x)

Meine Frage:
Stellen Sie fest, an welchen Stellen die Funktionen f und g differenzierbar sind und berechnen Sie dort jeweils die Ableitung.

1.) f(x) = $\begin{eqnarray*} |x| * \sin(x) \end{eqnarray*}$

2.) g(x) = $\begin{eqnarray*} |x| * \cos(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Ansatz würde ich Fallunterscheidungen für x > 0, x < 0 und x = 0 vorschlagen.

Beispielweise käme ich für x > 0 dann zu folgender Rechnung:

$\begin{eqnarray*} f(x+) = x*\sin(x) \end{eqnarray*}$

Mit dem Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} \end{eqnarray*}$ gelange Ich nun durch einsetzen zu ->

$\begin{eqnarray*} \frac{(x_{0}+h)*\sin(x_{0}+h) - x_{0}*\sin(x_{0}) }{h} \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich den ersten Term im Zähler ausmultipliziert und anschließend im Zähler h ausgeklammert um es kürzen zu können, also komme ich zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (\sin(x_{0}+h) + \frac{x_{0}}{h}*\sin(x_{0}+h) - \frac{x_{0}}{h}*\sin(x_{0})) = \sin(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Also existiert der Grenzwert für x > 0.

Wenn ich das gleiche Spielchen für x < 0 durchspiele, also für $\begin{eqnarray*} f(x-) = -x*\sin(x) \end{eqnarray*}$ , komme ich am Ende auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} -\sin(x_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Kann ich hier schon sagen, dass die Funktion nicht stetig differenzierbar ist? Sprich müsste ich eine links- und rechtsseite Ableitung machen?

Für den Fall x = 0 komme ich zu dem unbestimmten Grenzwert " $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ". Stimmt das? Und wie würde ich nun damit umgehen, denn wir haben in der Vorlesung noch kein l'Hospital behandelt und dürfen es deswegen auch nicht anwenden..

Hatte erst gedacht die Funktion ist vielleicht in x0 = 0 nicht differenzierbar, aber habe die Funktion dann gezeichnet und so wie das aussieht ist sie differenzierbar..

Hoffe Ihr könnt mir helfen, denke wenn ich a vom Prinzip verstanden habe, dürfte b kein Problem mehr sein smile

Schonmal ein großes Danke an alle Helfer!!

LG

10.04.2012, 17:49

HAL 9000

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Vieles an deinen Rechnungen ist schlicht falsch - als Beispiel

Zitat:

Original von MarOl1992
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (\sin(x_{0}+h) + \frac{x_{0}}{h}*\sin(x_{0}+h) - \frac{x_{0}}{h}*\sin(x_{0})) = \sin(x_{0}) \end{eqnarray*}$

da kommt rechts tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sin(x_0) + x_0\cos(x_0) \end{eqnarray*}$ heraus...

---------------------------------------------------------

Du kannst doch erstmal aus

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x\sin(x) & \;\mbox{für}\,x>0\\ 0 & \;\mbox{für}\,x=0\\ -x\sin(x) & \;\mbox{für}\,x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$

sofort die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ sowohl für $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x_0<0 \end{eqnarray*}$ direkt (d.h. ohne Tippeltappeltour über Differenzenquotienten) bestimmen!

Einzig der Fall $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ muss gesondert untersucht werden.

10.04.2012, 18:58

MarOl1992

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Ohje..

Also darf ich die Funktion einfach so in die drei Fälle aufteilen und muss für x > 0 bzw. x < 0 garkeinen Differenzenquotienten betrachten?!

Dann bekäme ich für x > 0 nach der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + x*\cos(x) \end{eqnarray*}$ , wie du schon geschrieben hast.

Und für x < 0:

$\begin{eqnarray*} -\sin(x) - x*\cos(x) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Aber wie komme ich über den Differenzenquotienten dahin, das müsste ja auch funktionieren oder?! Was habe ich da verbockt?

Für x = 0 muss ich dann den Differenzenquotienten anwenden?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} \frac{0 - x_{0}*\sin(x_{0})}{0 - x_{0}} \end{eqnarray*}$

Damit würde ich sin(x0) rausbekommen... Aber das ist mir wahrscheinlich wieder gründlich in die Hose gegangen oder? :/

LG

10.04.2012, 19:25

HAL 9000

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Du betrachtest eben den rechts- und den linksseitigen Differenzenquotienten.

Oder machst dir gleich ein- für allemal folgendes Lemma klar:

Zitat:

a) Stimmen die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ überein, d.h., es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

und ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so ist auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=g'(x_0) \end{eqnarray*}$

b) Stimmen die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in einer linksseitigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ überein, d.h., es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0-\varepsilon < x \leq x_0 \end{eqnarray*}$ ,

und ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ linkkseitig differenzierbar und es gilt für diese linksseitige Ableitung

$\begin{eqnarray*} f_-'(x_0) := \lim_{h\nearrow 0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = g'(x_0) \end{eqnarray*}$ .

c) Stimmen die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in einer rechtsseitigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ überein, d.h., es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x < x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

und ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ rechtsseitig differenzierbar und es gilt für diese rechtsseitige Ableitung

$\begin{eqnarray*} f_+'(x_0) := \lim_{h\searrow 0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = g'(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man den Großteil dieser "stückweise gegebenen" Funktionen erschlagen, und solche Betragsfunktionen kann man dieser Klasse zurechnen.

Im vorliegenden Fall wendet man im Fall $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ Aussage a) an mit Vergleichsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x\sin(x) \end{eqnarray*}$ , im Fall $\begin{eqnarray*} x_0<0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls a), nur diesmal mit Vergleichsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=-x\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ berechnet man die linksseitige Ableitung $\begin{eqnarray*} f_-'(0) \end{eqnarray*}$ über b) mit $\begin{eqnarray*} g(x)=-x\sin(x) \end{eqnarray*}$ , sowie die rechtsseitige Ableitung $\begin{eqnarray*} f_+'(0) \end{eqnarray*}$ über c) mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x\sin(x) \end{eqnarray*}$ . That's it.

10.04.2012, 19:43

MarOl1992

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Okay, jetzt muss ich das Wirrwar nurnoch in meinen Anti-Mathe Kopf bekommen Big Laugh

!

Also wenn ich nun den linksseitigen Grenzwert für x=0 betrachte, dann würde ich ja nach b) g(x) = -x*sin(x) als "Hilfsfunktion" nehmen.

Aber wo setze ich die dann ein?!

Ich schreibe den Differenzenquotienten auf mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} \end{eqnarray*}$ und setze Ihn gleich mit der Ableitung meiner "Hilfsfunktion" g(x)?!

Was genau habe Ich davon, bzw wie komme ich dann auf den Wert von Epsilon?

Tut mir leid, wenn manche Fragen etwas sehr hohl klingen, aber manche Sachen wollen nichtso wirklich in meinen Kopf, nichtsdestotrotz würde ich Sie gerne verstehen.

LG

11.04.2012, 07:52

HAL 9000

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Es war ein Angebot, darüber nachzudenken, mehr nicht - ich hatte gedacht, so was kann man im Hochschulbereich hier durchaus mal anbringen. Es war jedenfalls nicht der Startschuss für eine langwierige Betreuung zu einem Beweis, der sich eigentlich direkt aus der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt. Wenn du es nicht unmittelbar verstehst, dann verschwende nicht deine Zeit damit, sondern bleib bei deinem Weg.

11.04.2012, 13:19

MarOl1992

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Ich hatte die Lösung bereits richtig glaube ich, hatte nur nen Gedankendreher drin, dass sin(0) = 1 ist, aber das ist beim cos der Fall, also komme ich über den differenzenquotienten darauf, dass die Ableitung von 0 ebenfalls 0 ist. Und das stimmt ja.

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du es nicht unmittelbar verstehst, dann verschwende nicht deine Zeit damit, sondern bleib bei deinem Weg.

Wenn der Weg aber einfacher zu sein scheint, dann wäre es doch sinnvoll ein wenig Zeit damit zu verbringen Ihn zu verstehen, weil man wohlmöglich im Nachhinein viel Zeit sparen kann oder nicht? Augenzwinkern

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