Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Neue Frage »

Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Meine Frage:
Hallo Leute smile

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter..

Beweisen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung, dass



Dabei gilt:



Zwischenstelle:



Meine Ideen:

Mittelwertsatz der Differenzialrechnung:



Wenn die FUnktion f im Intervall [a,b] differenzierbar ist, dann gibt es mindestens ein so, dass




Jetzt weiß ich nicht so genau, wie ich anfangen soll..

Ich hab erst einmal bei

für a und b -> und eingesetzt und kam auf



=

Weiß nicht, ob mir das erstmal was bringt..
Aber wie genau wendet man denn diesen Mittelwertsatz an?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Hi,

für gewöhnlich ist . In der Aufgabe ist ein Element aus ganz ?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
ja, stand so in der aufgabe
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Also wenn für den Intervall Zahlen angegeben wären, wäre das vllt einfacher gewesen,
aber ich kann auch keine wirkliche Verbindung zwischen der Aufgabe f(x)>1-x und dem Mittelwertsatz erkennen..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Wähle b > 0 und betrachte das Intervall [0; b] . Für die Funktion gibt es aufgrund des MWS ein a mit 0 <= a <= b und .

Wegen a >= 0 gilt . Schätze damit das f'(a) ab und löse die entstehende Ungleichung nach b auf.

Anschließend betrachtest du den Fall b < 0 in analoger Weise.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank ersteinmal für deine Antwort,
aber ich verstehe nicht so genau, wie du auf einiges gekommen bist..

1. Wie kannst du das Intervall so festlegen? Okay, b kann ja < 0 oder > 0 sein, aber es könnte doch auch =0 sein. Und wieso muss man a als 0 festlegen?

2.Und wie kommst du auf das Ergebnis 0<=a<=b ?

Vielleicht kann ich den Rest nachvollziehen, wenn diese Fragen beantwortet werden ^^ Big Laugh
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lk-Mathe
1. Wie kannst du das Intervall so festlegen? Okay, b kann ja < 0 oder > 0 sein, aber es könnte doch auch =0 sein.

Ich kann festlegen, wie und was ich will. Hauptsache ist, daß am Ende die behauptete Ungleichung bewiesen ist. Im übrigen ist diese für x=0 trivialerweise erfüllt, so daß "nur" noch der Rest interessiert.

Zitat:
Original von Lk-Mathe
Und wieso muss man a als 0 festlegen?

Das habe ich nicht gemacht.

Zitat:
Original von Lk-Mathe
2.Und wie kommst du auf das Ergebnis 0<=a<=b ?

Das ist eine Konsequenz aus der Anwendung ds MWS.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich dachte weil du f(b)-f(0) geschrieben hast, und das zweite f( ) ja ein a beinhaltet, dass du a als 0 festgelegt hast..

Außerdem verstehe ich auch nicht so genau, wie du auf f'(a)=... kommst.
Also wie kommst du auf die Beziehung, dass die Ableitung von a gleich dem MWS mit b und 0 ist?

Und was heißt f'(a) abschätzen? Die Ableitung von a ist ja MWS gewesen und ist größer als -1
Also setze ich einfach und löse DAS nach b auf?

So viele Fragen.. ^^' Wäre echt dankbar, wenn du sie beantworten würdest.. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lk-Mathe
Hm, ich dachte weil du f(b)-f(0) geschrieben hast, und das zweite f( ) ja ein a beinhaltet, dass du a als 0 festgelegt hast..

Außerdem verstehe ich auch nicht so genau, wie du auf f'(a)=... kommst.
Also wie kommst du auf die Beziehung, dass die Ableitung von a gleich dem MWS mit b und 0 ist?

Mir scheint, daß du sehr sklavenhaft an der Formulierung des MWS festhältst. Mein a hat mit dem a aus deinem MWS nichts zu tun, sondern ist das x_z. Sorry, daß ich darauf nicht geachtet habe. Dein a aus dem MWS habe ich in der Tat = 0 gesetzt.

Zitat:
Original von Lk-Mathe
Und was heißt f'(a) abschätzen? Die Ableitung von a ist ja MWS gewesen und ist größer als -1
Also setze ich einfach und löse DAS nach b auf?

Nun ja, nicht nach b, sondern nach . smile
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich glaube, jetzt ist mir die Aufgabe etwas klarer geworden..
Ich soll ja beweisen, dass



ist, und darum könnte ich für x_z bzw a jede beliebige Zahl wählen, aber es war halt praktischer mit der 0 und wenn ich die Ungleichung nach e^-b auflöse, steht da e^-b >= 1-b

So ich mach dasselbe jetzt nochmal für b<0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lk-Mathe
und darum könnte ich für x_z bzw a jede beliebige Zahl wählen

Nun ja, das a ist gewissermaßen frei wählbar, das x_z aber nicht, denn der MWS sagt ja nur, daß es ein x_z gibt. Wie das aussieht (außer, daß es in dem Intervall [a; b] liegt), sagt es nicht. Es ist aber auch nicht frei wählbar.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage
Wie kommst du genau auf diese Aussage:
0 <= a <= b
Wenn du a doch beliebig festlegen kannst.. Das ERGEBNIS des MWS ist doch immer größer als 0 und kleiner als b.. Oder meinst du, dass "mein" a festgelegt werden kann und "dein" a ist das Ergebnis?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Gewissermaßen. Mein a ist dein x_z. Ich hätte besser sagen sollen. smile
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich müsste es doch f '(x_z) sein..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Also nochmal komplett, wenn du so sehr an dem x_z hängst:

Wähle b > 0 und betrachte das Intervall [0; b] . Für die Funktion gibt es aufgrund des MWS ein x_z mit 0 <= x_z <= b und .

Wegen x_z >= 0 gilt . Schätze damit das f'(x_z) ab und löse die entstehende Ungleichung nach b auf.

Anschließend betrachtest du den Fall b < 0 in analoger Weise.

Ich habe jetzt wirklich nur jedes a durch x_z ersetzt. Damit ändert sich nichts am Kern der gemachten Aussagen. Du mußt einfach mal lernen, daß Variablen in irgendwelchen mathematischen Sätzen nur Platzhalter sind. Bei der Anwendung werden dann die Platzhalter mit den entsprechenden aktuellen Variablen bzw. Konstanten ersetzt.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Das hatte ich ja alles verstanden, mir war nur nicht klar:

da steht ja f '(x_z)= f(b)-f(0) / b-0

darum habe ich mich gefragt, wieso wir x_z erhalten (in 0<=x_z<=b), anstatt von f '(x_z)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Verstehe die Frage nicht. Das ergibt sich doch alles aus der Anwendung des MWS.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Ich versuchs nochmal ^^

Der MWS ist ja:



Also steht da:



Da b ja größer als 0 ist, wird e^-b immer kleiner, je größer b wird. Der Bruch ist also immer größer als 0 ( er kann doch nie =0 werden).

Also haben wir 0< ... <= b

Aber warum steht bei ... jetzt x_z ? Auf der linken Seite steht doch f '(x_z).
Ich hab nur nicht verstanden wieso wir x_z anstelle von f '(x_z) bei ... hinshreiben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Zitat:
Original von Lk-Mathe
Der MWS ist ja:



Kleiner Irrtum: Wegen dem MWS gibt es ein x_z mit und .
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Achso stimmt, das ist ja nur eine Folge..

Du hast ja geschrieben: Wegen dem MWS gibt es ein x_z mit ...
Wie genau kommst du auf dieses x_z? Wie wendest du diesen MWS an?

(Wir haben noch nie etwas mit dem MWS gemacht und die Hausaufgabe einfach so aufbekommen, darum könnte es sein, dass ich so Schwierigkeiten hab, das gerade zu verstehen.)

Und müsste es nicht 0 < x_z anstelle von 0<=x_z sein? Der Bruch kann ja nie 0 werden..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Zitat:
Original von Lk-Mathe
Du hast ja geschrieben: Wegen dem MWS gibt es ein x_z mit ...
Wie genau kommst du auf dieses x_z? Wie wendest du diesen MWS an?

Nochmal: ich komme nicht auf das x_z. Der MWS sagt einfach nur, daß es ein solches x_z gibt. Ich wende den MWS einfach nur rein formal an. So wie man eine binomische Formel anwendet.

Zitat:
Original von Lk-Mathe
Und müsste es nicht 0 < x_z anstelle von 0<=x_z sein? Der Bruch kann ja nie 0 werden..

Von mir aus kannst du das stärker einschränken. Meine Aussage ist trotzdem richtig.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
achso ok..

ich komme für b<0

wieder auf 0<=x_z<=b
und somit wieder auf das gleiche Ergebnis..
Stimmt so oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Zitat:
Original von Lk-Mathe
ich komme für b<0

wieder auf 0<=x_z<=b
und somit wieder auf das gleiche Ergebnis..

Das geht natürlich nicht. Wenn b < 0 ist, dann betrachtest du das Intervall [b; 0] und mithin ist b <= x_z <= 0 .
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Ach natürlich x_z<=0
aber

b<0 also ist b negativ

und je größer mein b wird, desto größer wird doch das Ergebnis für e^-b
und weil der Nenner negativ ist, wird das gesamte Ergebnis negativ

also z.B wenn b= -1 ist dann ist das Ergenis vom Bruch -1,7..

Also ist x_z doch kleiner als b oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Nein, es ist b <= x_z <= 0. Du mußt einfach den MWS anwenden, daß f'(x_z) wieder abschätzen und dann die Ungleichung umformen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
ja, das problem ist, dass ich den MWS nicht anwenden kann..
Was muss man denn da rechnen?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
ich hab jetzt nochmal gerechnet und kam bei b<0

auf e^-b>=1
somit ist es ja auch größer als 1-b
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Netter Gedanke, funktioniert aber nicht, da für b < 0 das 1-b auch > 1 ist. smile

Daß du nicht den MWS anwenden kannst, erschüttert mich schon etwas. Das ist doch nur formales Einsetzen:

Wähle b < 0 und betrachte das Intervall [b; 0] . Für die Funktion gibt es aufgrund des MWS ein x_z mit b <= x_z <= 0 und .

Wegen x_z <= 0 gilt . Somit gilt:



Multiplizieren mit b ergibt wegen b < 0:

Den Rest schaffst du selbst. Augenzwinkern
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
achsoo
ich hab die ganze zeit bei e^-x_z >= 1 aufgehört, weil das grösser/gleich-Zeichen schon richtig rum war Big Laugh

und ich hab auch die ganze zeit nicht beachtet, dass das b im nenner ja negativ ist..

auf jeden fall: vielen dank für deine hilfe und dass du so geduldig mit mir warst.. Ich hatte halt immer nur etwas probleme, weil wir das noch nie gemacht haben und ich deshalb nicht wusste, ob ich es überhaupt richtig gemacht habe.. Jetzt hab ich es aber verstanden. Danke smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »