Wie berechne ich hier die Inverse Matrix?

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10.04.2012, 19:41	Sabienchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechne ich hier die Inverse Matrix? Meine Frage: Ich möchte diese Matrix ausrechnen: (3 2 1 \| -1\| 1 0 0) A=(5 1 0 \| 11\| 0 1 0) (1 7 2 \|-15\| 0 0 1) Das vorgegebene Ergebnis ist: (1 0 0 \| 2\| -0.2 0.3 0.1) A=(0 1 0 \|-1\| -1.0 0.5 0.5) (0 0 1 \| 5\| -3.6 1.9 1.3) Leider komme ich beim rechnen der Inversen Matrix nicht auf das richtige Ergebnis. Kann mir jemand bei den Rechenschritten helfen? Meine Ideen: ???
10.04.2012, 20:06	The_Tower	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sabienchen, um die inverse Matrix A^-1 zu bestimmen, muss die Matrix zur Einheitsmatrix umgeformt werden. Parallel dazu führt man die gleichen Zeilenumformungen an einer Einheitsmatrix durch.
10.04.2012, 20:32	Sabienchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Halle The_Tower, ja danke, jedoch weiß ich nicht so recht wie ich die die Matrix umformen soll mit den Rechenschritten um das Ergebnis zu bekommen. Meine Rechenschritte waren bisher falsch.
10.04.2012, 23:04	The_Tower	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du es denn bislang versucht? Kleiner Hinweis: ist die Determinte der Matrix =0, so existiert keine inverse Matrix.
10.04.2012, 23:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzer Einschub meinerseits: Die Matrix in der Aufgabe entspricht nicht der Matrix auf dem Bild. Für die prinzipielle Vorgehensweise spielt das zwar keine Rolle, aber für die weitere Hilfe ist es nicht unwichtig. over and out
11.04.2012, 17:52	Sabienchen	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antworten. stimmt das wirklich? also ich hab jetzt nachgerechnet mit dem taschenrechner und bei mir kam bei der determinanten = 62 raus. ist das jetzt falsch? ja stimmt habe ich auch bemerkt, aber richtig soll die Matrix auf den bildern sein.
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11.04.2012, 21:07	The_Tower	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Matrix auf dem Bild meinst ist die Determinante -10. Das gibt Aufschluß darüber, ob es zu dieser Matrix eine inverse Matrix gibt. Für alle Matrizen deren Determinante ungleich 0 ist, existiert eine inverse Matrix. Also gibt es zu deinem Beispiel eine - kann man auch eigentlich recht schön auf dem Bild sehen. Ich zeig dir das nun jetzt mal anhand eines kleinen Beispiels: Ich möchte nun die inverse Matrix dieser 2x2-Matrix bestimmen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu Hilfe nehme ich mir diese Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ziel ist es also, deine Matrix in die Form dieser Einheitsmatrix zu bringen. Als ersten würde ich dafür zur 2. Zeile die 1. hinzu addieren. Das gleiche machst du mit der Einheitsmatrix. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt dividiere ich die 2. Zeile durch 6: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/6 & 1/6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im letzten Schritt ziehe ich von der 1. Zeile vier mal die 2. Zeile ab. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 \\ 1/6 & 1/6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite steht nun die inverse Matrix zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hoffe es ist nun klar wie die Umformungen zustande kommen
11.04.2012, 22:12	Sabienchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah cool danke für die Hilfe. ja das mit der Einheitsmatrix und dem umformen hab ich schon verstanden. Bloß mit der 3x3 Matrix ist recht schwieriger als mit einer 2x2 Matrix, da komm ich leider immer auf die falschen Rechenschritte bzw Ergebnis. Kannst du mir denn sagen ob das Endergebnis auf dem 2. Bild richtig ist?
11.04.2012, 22:37	The_Tower	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis auf dem Bild ist richtig. Das Vorgehen dort ist genauso wie bei einer 2x2-Matrix. Versuch dich doch jetzt noch einmal an der Matrix, die auf dem Bild zu sehen ist. Kleiner Tipp: ich würde Zeile 1 mit Zeile 3 tauschen.
11.04.2012, 22:50	Sabienchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut vielen dank The_Tower ja ich werds nochmal versuchen müssen. Eine Frage hätte ich jedoch noch: Und zwar wie bist du auf das Ergebis mit der Determinanten -10 gekommen? Rechnest du die -1, 11 sowie -15 (Zahlen in der Mitte) mit?
12.04.2012, 07:52	The_Tower	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Ergebnisverktor. Der wird bei der Berechnung der Determinante überhaupt nicht gebraucht. Dann wäre die Matrix ja auch nicht mehr quadratisch... Die Determinante einer 3x3-Matrix kann man mit der Regel von Sarrus berechnen (dazu lassen sich auch einige Videos finden).

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