Ungleichung mit Konstante K

10.04.2012, 20:39	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Konstante K Meine Frage: hallo, ich habe eine Frage: wenn n ist einenatürliche Zahl. wie bestimme die kleinste positive Konstante K der Ungleichung : $\begin{eqnarray} (1+x^{n-1})^{n} \leq k(1+x^{n})^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* ich würde für n --> 1 einsetzen und dann mit Vollständige Induktion oder mir birnoulli Ungleichung so bekomme ich $\begin{eqnarray} 1+x^{n}< K\frac{1+xn}{1+x^n} \end{eqnarray*}$ und dann nach x lösen für n=1
11.04.2012, 00:57	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Ungleichung für alle x gelten soll, ist sie nicht lösbar: Beim Ausmultiplizieren der Binome treten links wie rechts als höchste Potenzen von x $\begin{eqnarray} x^{n(n-1)} \end{eqnarray}$ auf. Wenn diese auf beiden Seiten subtrahiert werden bleiben als danach höchste Potenzen links $\begin{eqnarray} nx^{(n-1)(n-1)} \end{eqnarray}$ rechts $\begin{eqnarray} (n-1)x^{n(n-2)} \end{eqnarray}$ stehen. Weil (n-1)(n-1)>n(n-2) steht die höhere Potenz links und wird bei genügend großem x jedes k "überholen"
11.04.2012, 07:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechts ist die höchste Potenz aber auch noch mit k multipliziert, das kannst du nicht einfach wegsubtrahieren.
11.04.2012, 14:37	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Nur wenn $\begin{eqnarray} k\leq 1 \end{eqnarray}$ , setzt sich die linke Seite durch.
11.04.2012, 15:05	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
als Tipp steht : $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{(1+x^{n-1})^{n}}{(1+x^{n})^{n-1}} auf \left[0,\infty \right) \end{eqnarray}$
11.04.2012, 15:44	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleiche höchste Zähler- mit höchster Nennerpotenz und kürze, wenn möglich. Wogegen konvergiert die Funktion?
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