Verschoben! Quadrat im Dreieck - rechnerisch (!) |
| 10.04.2012, 22:57 | Gilderoy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Quadrat im Dreieck - rechnerisch (!) Hallo, Ich habe da so ein Problem. Es geht nämlich um das berühmte Quadrat im Dreieck. Für die, die die Aufgabe nicht kennen: Konstruiere in einem gegebenen Dreieck ABC ein Quadrat DEFG, so dass D und E auf AB, F auf BC und G auf CA liegt. Wie dies zeichnerisch geht ist mir klar (Strahlensatz, wurde hier im Forum auch schon öfters erklärt), mir geht es hier aber nun um eine rechnerische Lösung. Meine Ideen: Meine Lösungsidee: Zu erst wird das Dreieck mit der Grundseite AB auf die x-Achse eines Koordinatensystems gelegt. Das Dreieck wird nun durch die zwei Geraden f(x) und g(x) und die x-Achse begrenzt. Bei mir ist die eine Gerade zur vereinfachung einfach und . Nun habe ich mir gedacht, bei einem Quadrat ist der Flächeninhalt im Bezug zum Umfang am größten. Somit wollte ich die formel für die Rechtecke wobei A(x) die Formel für den Flächeninhalt und U(x) den Umfang aufstellen Dafür habe ich folgende: wobei m und b aus g(x) kommen. Erste Faktor (breite des Rechtecks) ist der Bereich auf der x-Achse zwischen dem x Wert wo g(x)=f(x) und dem x Wert von f(x) (es kann ja nur ein x-Wert geben, daher wird der von g(x) in Abhängig von f(x) gesetzt. Der 2. Wert ist einfach die höhe des Rechtecks, da f(x)=x ist, ist dies einfach auch = x Einfach 2 mal Höhe und Breite (s.o.) Wenn ich aber nun diese beiden Formeln durcheinanderteile und den Extremwert bestimme, also q'(x)=0 kommt nicht das richtige Ergebnis raus. Auch wenn ich eben dachte bei einem Quadrat wäre der Flächeninhalt durch den Umfang ein Extremwert. Kann mir also jemand sagen wo mein Denkfehler ist und ggf. die richtige rechnerische Lösung geben? |
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| 11.04.2012, 00:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Quadrat im Dreieck - rechnerisch (!)
Das ist schon aus jenem Grund falsch bzw. unsinnig, weil man eine Fläche nicht zu einer Länge ins Verhältnis setzen kann. Und weshalb ausgerechnet Fläche zu Umfang? Auch die weiteren Ausführungen entbehren jeder Grundlage, denn es handelt sich auch nicht um eine Extremwertaufgabe. Es gibt nur ein Quadrat und nicht viele, aus denen ein "maximales" berechnet werden könnte. Somit brauchst du auf dieser Schiene gar nicht mehr weiterrechnen. Man kann es so rechnen, wie es auch konstruiert wurde, also ebenfalls mittels von Verhältnissen in ähnlichen Dreiecken. Berechne zunächst aus den 3 Seiten die Fläche A des Dreieckes und daraus die Höhe auf c (hc). Für die Quadratseite x gilt dann folgende einfache Proportion: mY+ |
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