Lineare Fortsetzung von linearen Funktionalen

11.04.2012, 09:51	Gerald37	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Fortsetzung von linearen Funktionalen Hallo Leute, ich lerne gerade die Hahn-Banach Fortsetzungssätze und beim folgenden Satz steht als Bemerkung: Die Existenz irgendeiner Fortsetzung ist leicht zu zeigen, aber die Existenz einer p-beschränkten linearen Fortsetzung ist die wichtige Aussage. Nun sehe ich leider nich so ganz, wie man eine Funktion, die auf einer Unterraum definiert ist, normal (also ohne die Bedingung p-beschränkt) leicht fortsetzt? Kann jemand helfen bitte? MfG __________________________________________________________________ Satz von Hahn-Banach zur Fortsetzung von p-beschränkten Funktionen: Sei L ein linearer Raum über $\begin{eqnarray} \mathbb R, M \to L \end{eqnarray}$ ein linearer Unterraum, $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ sublinear auf $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f : M \to R \end{eqnarray}$ eine lineare, $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -beschränkte Funktion, d.h. $\begin{eqnarray} \forall x \in M: f (x) \le p(x) \end{eqnarray}$ . Dann existiert eine lineare Fortsetzung $\begin{eqnarray} F : L \to R \end{eqnarray}$ (d.h. $\begin{eqnarray} F\|_M = f \end{eqnarray}$ ) mit $\begin{eqnarray} x \in L: F(x) \le p(x) \end{eqnarray}$ .
11.04.2012, 11:26	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dort steht dass die Existenz leicht gezeigt werden kann. Dort steht nicht, dass man diese Fortsetzung auch leicht findet. Aber mal als Beispiel : Sei V ein Banachraum und W ein Unterraum von V der Dicht in V liegt. Es sei $\begin{eqnarray} T : W \to W \end{eqnarray}$ beschränkt und linear, sei weiterhin $\begin{eqnarray} v_n \subset W \end{eqnarray}$ eine Folge mit Grenzwert in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} Tv_n \to v^ \end{eqnarray}$ definiere $\begin{eqnarray} T^v =v^ \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ eine lineare Fortsetzung von T auf V mit $\begin{eqnarray} T^\|_W = T \end{eqnarray}$ . Dafür wäre zu zeigen : $\begin{eqnarray} T^ \end{eqnarray}$ wohldefiniert (für jedes v aus V gibt es so eine Folge und für alle Folgen mit dem selben Grenzwert ist v^ gleich) und linear
11.04.2012, 20:05	Gerald37	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Mazze, danke für die Antwort. Das Beispiel, in dem W in V dicht liegt, kenne ich schon. mir ging es wirklich nur um den folgendne Fall. Sei E ein normierter Raum und U ein Unterraum (ein echter) und es sei ein Funktional f: U --> lR gegeben. Wie kann ich die Existenz von einem F: E --> lR mit F eingeschränkt auf U = f zeigen?
12.04.2012, 20:00	Gerald37	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Fortsetzung von linearen Funktionalen Hallo Leute, leider wurde meine Frage noch nicht beantwortet. Jemand, da, der mir das erklären kann? Danke
13.04.2012, 11:29	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dort steht ja nun sogar dass die Fortsetzung nichtmal linear sein soll. Setze $\begin{eqnarray} T^v = \begin{cases}Tv & v \in U \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray}$ Dann ist T^ eine Fortsetzung von T, aber nicht linear .
14.04.2012, 13:16	Gerald37	Auf diesen Beitrag antworten »
lol, ich hatte schon gedacht, dass mit Fortsetzung lineare Fortsetzung gemeint ist. Angenommen es ist lineare Fortsetzung gemeint. Ist das dann leicht oder schwer?
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