normalteiler

11.04.2012, 12:53

aj1_0

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normalteiler

hallo,

ich habe zu normalteilern etwa 2 fragen.

zum einen:
ich habe irgendwo mal aufgeschnappt und notiert:
wenn ich 2 gruppen habe, gruppe G und untergruppe H und die ordnung von H die ordnung von G teilt, wobei das ergebnis die kleinste primzahl ist, die G teilt, dann ist H ein normalteiler von G.
beispiel:
|G|=6, |H|=3 => 6/3 = 2, 2 ist die kleinste primzahl, die 6 teilt, also ist H ein normalteiler von G.
dazu meine frage:

stimmt das so immer?
warum stimmt das?
ich weiß leider nicht mehr, wo ich das aufgeschrieben habe

dann die andere frage:
ich möchte lernen, besser zu sehen, ob es sich um normalteiler handelt, oder nicht.
dazu nehme ich mal das beispiel der S_4
es ist ja relativ bekannt, dass gilt: id, V_4, A_4,S_4

dass A_4 ein normalteiler von S_4 ist, könnte ich dann mit obigem kriterium nachweisen.
wie kann ich jetzt möglichst leicht nachweisen, dass V_4 ein normalteiler von A_4 ist?

Versuch: die ordnung von A_4 durch die Ordnung von V_4 ergibt ja 3. kann ich von der 3 schon ablesen, dass es ein normalteiler ist? da habe ich nämlich auch mal was gehört von wegen dass daraus folgt, dass es zyklisch ist, also ein normalteiler.
leider ist mir das alles noch nicht ganz klar, deshalb bitte ich euch um hilfe

grüße
aj

11.04.2012, 13:13

Gast11022013

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RE: normalteiler
Hallo, meinst Du mit Deiner ersten Frage folgende Aufgabe:

Sei G eine endliche Gruppe, sei p die kleinste Primzahl, die |G| teilt. Man zeige, dass
jede Untergruppe U von G vom Index p ein Normalteiler ist.

?

11.04.2012, 13:18

aj1_0

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hm ich würde sagen, das klingt sehr ähnlich, ja.
nur weiß ich nicht genau, was ein index einer untergruppe ist. ich weiß, dass der index, wenn ich z.b. eine gruppe mit einer untergruppe vergleiche die anzahl an linksnebenklassen ist, aber index nur von der ungruppe hab ich glaube ich noch nicht gehört.
ist das eine bekannte aussage ansonsten?

11.04.2012, 13:22

Gast11022013

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Zitat:

Original von aj1_0
aber index nur von der ungruppe hab ich glaube ich noch nicht gehört.

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe, $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Untergruppe. Der Index von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist die Mächtigkeit der Mengen $\begin{eqnarray*} G/H \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} H\setminus G \end{eqnarray*}$ (diese Mengen sind ja gleichmächtig).

Edit: Ja, also wenn Du die Aussage meinst, die ich hier meine, ist das eine ziemlich bekannte Aussage.

Edit 2: Achso, zum Beweis: Das würde ich in folgende Beweisschritte aufteilen:

(1) Zeige, daß durch $\begin{eqnarray*} (u,gU)\mapsto ugU \end{eqnarray*}$ eine Operation von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ beschrieben wird.

(2) Zeige, daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ genau dann ist, wenn jeder Orbit bei der Aktion aus (1) nur aus einem Element besteht.

(3) Benutze (2) um jetzt die eigentliche Aussage zu beweisen.

11.04.2012, 13:43

aj1_0

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okay danke.

zu V_4 als normalteiler von A_4

ich hab mir das jetzt so überlegt:
ich nehme jedes element aus V_4, schau ob, wenn ich davor was aus A_4 ranklatsche und dahinter das inverse, ob das ergebnis immer noch in V_4 ist. wenn ja, ist V_4 abgeschlossen bezüglich konjugation, also normalteiler.
ist das so ok?

muss ich dazu jedes element mit V_4 mit einem beliebigen el. aus A_4 nehmen, oder mit jedem element aus A_4, was sehr viel arbeit bedeuten würde?

diesen einfacheren weg über Ordnung = 3 => zyklisch und so sagt dir/euch allen nicht so viel?

11.04.2012, 13:46

Gast11022013

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Willst Du nicht erst den Beweis zu Deiner ersten Frage versuchen?

(s. Tipps im Edit des letzten Beitrags)

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11.04.2012, 13:48

Reksilat

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Mal als Hinweis:
Bei der $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ (und allgemein bei Gruppen deren Elemente als Permutationen dargestellt sind) gibt es eine schöne Eigenschaft:
Die Konjugation mit einem Gruppenelement ändert die Struktur der Permutation nicht.
Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} g=(12)(34) \end{eqnarray*}$ ist, so hat auch $\begin{eqnarray*} h^{-1}gh \end{eqnarray*}$ die gleiche Struktur als Produkt zweier disjunkter Zykeln der Länge 2.

Und da $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ genau alle Elemente dieser Form enthält (und zusätzlich die Id.) muss $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ normal sein, da man bei Konjugation immer in der Untergruppe bleibt.

Gruß,
Reksilat.

11.04.2012, 13:50

aj1_0

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durch deine umformulierung meines satzes habe ich genau diese aussage in einer musterlösung zu einem übungsblatt gefunden und mir den beweis dazu durchgelesen. deshalb bin ich an dieser stelle mit der aussage zufrieden. danke zur hilfe dieses unterpunktes

11.04.2012, 13:53

Gast11022013

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Okay, dann verweise ich für die andere Frage auf die Antwort von Reksilat.

11.04.2012, 13:54

aj1_0

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und wenn V_4 "normal" ist, bzw. wenn A_4 "normal" ist, heißt es automatisch, dass es ein normalteiler ist, oder?

bei diesem "normal" muss man wahrscheinlich noch dazu angeben, dass es normal bezüglich z.b. A_4 ist, also V_4 ist normal bezüglich A_4, also ein normalteiler von A_4. So?

11.04.2012, 14:02

Gast11022013

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Was Reksilat verwendet hat, ist:

Die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ heißt ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , falls gilt:

Für jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} gUg^{-1}=U \end{eqnarray*}$ . (Invarianz von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unter der Konjugation $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ )

Wende das auf Dein Beispiel an und schon siehst Du, ob es sich um einen Normalteiler handelt.

Zur Sprechweise:

Ob Du nun sagst, es handelt es sich um einen Normalteiler oder um eine normale Untergruppe, ist egal, das bezeichnet ein und dieselbe Sache.

Edit: Entweder sagt man "U ist Normalteiler von G" oder "U ist normale Untergruppe von G". In dem Sinne drückt man schon immer aus, bezüglich welcher Gruppe man gerade von einem Normalteiler/ einer normalen Untergruppe spricht, ja.

11.04.2012, 14:07

aj1_0

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gut. der thread bringt mich auf alle fälle sehr viel weiter. danke für eure hilfe schonmal.

ich denke mir ist komplett klar, was in den letzten sätzen gesagt wurde.

wenn wir jetzt von "normal" sprechen muss ich zwangsläufig auch an "normal" bei körpererweiterungen denken.
hat das was damit zu tun?
ich weiß nämlich von dort, dass körpererweiterungen vom grad 2 immer normal sind. und hier hatte ich ja oben das beispiel, dass ich eine gruppe mit ordnung 6 und eine mit ordnung 3 hatte, also die division auch 2 ergibt und wir einen normalteiler hatten.

gibt es da einen zusammenhang?

11.04.2012, 14:14

Gast11022013

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Mit Körpererweiterungen kenne ich mich nicht aus.

Da hoffe ich, dass jemand Anderes eingreift!

11.04.2012, 14:15

aj1_0

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ist gar kein problem, du hast mir auf jeden fall geholfen, bin dir sehr dankbar smile

smile

13.04.2012, 14:11

cluff

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Zitat:

Original von aj1_0
wenn wir jetzt von "normal" sprechen muss ich zwangsläufig auch an "normal" bei körpererweiterungen denken.
hat das was damit zu tun?
ich weiß nämlich von dort, dass körpererweiterungen vom grad 2 immer normal sind. und hier hatte ich ja oben das beispiel, dass ich eine gruppe mit ordnung 6 und eine mit ordnung 3 hatte, also die division auch 2 ergibt und wir einen normalteiler hatten.
gibt es da einen zusammenhang?

hallo,

ich finde die frage sehr interessant, es kann gut sein, dass es einen zusammenhang gibt. ich kenne ihn leider (auch) nicht.

da ich die frage für wichtig halte, wollte ich trotzdem antworten, vielleicht ist das ein ansporn an mögliche wisser nochmals antworten zu posten.
ich habe nämlich die befürchtung, dass die frage etwas unterging, da sie erst im laufe der kommunikation auftrat.

viel erfolg noch
cluff

13.04.2012, 17:00

Mystic

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Ist eine Körpererweiterung L/K galoissch (d.h., endlich, normal und separabel), so ist für jeden Zwischenkörper Z dann auch automatisch L/Z galoissch, während man von der Körpererweiterung Z/K nur weiss, dass sie endlich und separabel ist... Wann ist sie auch normal, d.h., Z Zerfällungskörper eines Polynoms mit Koeffizienten in K? Die Anwort (surprise, surprise!): Normal ist sie genau dann, wenn die Untergruppe U der Galoisgruppe(L/K), welche aus allen Automorphismen besteht, für welche Elemente von Z Fixpunkte sind, ein Normalteiler in Gal(L/K) ist...

14.04.2012, 10:33

aj1_0

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...wow...

erst mal sehr schön, dass du geantwortet hast, danke.

da steckt ziemlich viel drin in den 4 zeilen. ich bin gerade noch dabei es langsam zu verstehen, habs jetzt einige male durchgelesen, das ganze war mir so nicht bewusst. ich denke mal das ist eine aussage, bzw. folgerung des hauptsatzes der galoistheorie?!

bei den ganzen Z, L, K, etc. muss ich schon sehr aufpassen, nicht durcheinander zu kommen.

kannst du vllt. an einem beispiel noch genauer zeigen, wie das jetzt anwendung findet und genau dann zu dieser frage bezüglich normalteiler, grad 2, etc. passt?

wir können ja mal S_4 nehmen, also die symmetrische Gruppe.
A_4 ist eine Untergruppe von S_4, das kann man ja nachrechnen, A_4 hat halb so viele Elemente wie S_4.

Dann nehme ich mir jetzt für dein U die Gruppe A_4.
Dann muss man ja überlegen, was gerade die Galoisgruppe ist. S_4 bildet ja sozusagen Nullstellen aufeinander ab, also kann das schon mit galoisgruppe zusammenhängen.
Den schluss dann auf Z und K was das genau ist, bzw., dass die normal sind, bzw. was dann das genau bedeutet ist mir leider noch nicht klar.
Wäre sehr dankbar, wenn du mir da noch ein wenig helfen könntest, vielleicht ja an dem angeführten beispiel.
wenn das nicht so gut ist, können wir auch A_4 und V_4 nehmen, kann mir vorstellen, dass das so gängige beispiele wären.

liebe grüße und nochmals dankeschön
aj1_0

14.04.2012, 11:56

Mystic

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Sorry, aber könnten wir nicht vielleicht etwas "bescheidener" die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nehmen, denn das ist wesentlich weniger Schreibarbeit und alles Wesentliche sieht man auch hier schon... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also zuerst müssen wir die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ als Galoisgruppe Gal(L/K) darstellen, dazu nehmen wir für $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , womit die Separabilität schon mal gesichert ist und für L den Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ , der ja tatsächlich die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ als Galoisgruppe hat...

Was wären hier also dann die eigentlichen Zwischenkörper Z der Körpererweiterung L/K und welche eigentlichen Untergruppen von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ entsprechen ihnen? Beachte dabei, dass man L aus K durch Adjunktion von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]2 \end{eqnarray*}$ und einer primitiven dritten Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ bekommt...

14.04.2012, 16:40

aj1_0

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klar, je weniger schreibarbeit für den gleichen ertrag, desto besser.

gut, ich probiers mal:

S_3 ist in diesem Fall isomorph zu Gal(L/K), weil x^3-2 2 komplexe nullstellen hat, wenn das so ist, kann man zeigen, dass die isomorphie vorliegt.
also ist das in ordnung.

dienullstellen von x^3-2 sind:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} e^{\frac{i2\pi}{3}}, \sqrt[3]{2} e^{\frac{i4\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

L ist dann
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, e^{\frac{i2\pi}{3}}) \end{eqnarray*}$

ja die untergruppen von S_3...
S_3 heißt ja, ich nehme ein gleichseitiges dreieck und überlege mir, was ich machen kann, um wieder das gleiche dreieck mit den gleichnamigen eckpunkten zu erhalten.

ich kann:

- 1 auf 2, 2 auf 3 3 auf 1 und dann das gleiche nochmal, in der gruppe sind dann 3 elemente
- 1 auf 3, 2 auf 1, 3 auf 2 und dann das gleiche nochmal, in der gruppe sind dann auch 3 elemente
- 2 auf 3, 3 auf 2, 1 gleichlassen, dann nochmal, hier sind 2 elemente drin
- 1 auf 3, 3 auf 1, auch 2 elemente drin
- 1 auf 2, 2 auf 1, auch 2 elemente drin
- die identität

ich nenne mal die automorphismen:

ich kann

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} e^{\frac{i2\pi}{3}}, \sqrt[3]{2} e^{\frac{i4\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ abbilden
jeweils, also 3 möglichkeiten

ich kann
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}}, e^{\frac{4i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ abbilden

also bekomme ich zusammen 6 automorphismen.

wie sieht das bisher aus?
kann leider noch immer nicht den link herstellen zu meiner frage, aber vielleicht bewegen wir uns in eine richtige richtung. danke für deine hilfe

14.04.2012, 20:29

Mystic

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Ja, bisher noch alles korrekt... Freude

Freude

Allerdings würde ich doch vorschlagen, bei der Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ für eine primitive 3-te Einheitswurzel (egal welche von den zwei!) zu bleiben, da dies die Sache etwas einfacher macht...

Die Automorphismen von $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q[\sqrt[3]2,\omega] \end{eqnarray*}$ sind aber bereits gegeben durch die Bilder von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ in der von der richtig angegebenen Weise... Du solltest diese 6 Möglichkeiten für Automorphismen nur noch irgendwie benennnen, damit wir uns im Folgenden darauf beziehen können...

Die 4 nichttrivialen Zwischenkörper sind nun offenbar

$\begin{eqnarray*} Z_1=\mathbb Q[\sqrt[3]2], Z_2=\mathbb Q[\omega \sqrt[3]2], Z_3=\mathbb Q[\omega^2\sqrt[3]2 ], Z_4=\mathbb Q[\omega] \end{eqnarray*}$

Welche Untergruppen der Galoisgruppe Gal(L/K) entsprechen ihnen?

15.04.2012, 09:47

aj1_0

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das freut mich, wenns schonmal gar nicht so verkehrt ist.

das mit der bezeichnung, da hast du recht, gute idee.

ich würde die abbildungen, bei denen

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ fest bleibt "a" nennen, heißt, wir haben a_1, a_2, a_3

die, bei denen

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} e^{\frac{4i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ gehen b, also haben wir b_1, b_2, b_3

die 1/2/3 würde ich in der reihenfolge ich wie die bilder von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ angegeben habe, belassen. beispiel:

a_1:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

ach, jetz hab ich wieder vergessen, w stattdessen zuschreiben, aber gut, egal... nächstes mal vielleicht.

du gibst jetzt direkt die zwischenkörper an, darf ich schnell nachfragen warum man die offenbar sieht?
also wenn ich mir das so anschaue, was du angibst, würde ich sagen, man schaut, dass die beiden elemente, die in der körpererweiterung enthalten sind, reinkommen, das ist einleuchtend. dann die beiden multipliziert auch, okay. mit Z_3 habe ich noch mein problem, warum mache ich den rein und nicht z.b. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}^2 \end{eqnarray*}$ ?

gut, dann versuche ich mich mal ein wenig an der zuordnung:

Z_1:
die dritte wurzel aus 2 wird ja festgehalten, der rest kann sich ändern.
jetzt überlege ich gerade, ob ich die abbildungen von a als drehungen identifizieren kann, und wenn b dabei ist als spiegelung.
das hieße dann,
hmm ich merke, ich müsste raten

Z_4:
ist denke ich
1 auf 2, 2 auf 3, 3 auf 1
aber eher gefühlsmäßig als belegbar...

gut ich merke, ich hänge hier in der luft, weiß nicht wirklich, wie ich das am leichtesten sehen kann.

ich weiß schon, dass ich in manchen fällen das so machen kann:
basis bilden, jedes basiselement abbilden anhand der abbildung und schauen, was von den basiselementen fest bleibt.
fühlt sich aber auch sehr zeitaufwändig an.

by the way:
ich hab jetzt ein durchexerziertes beispiel gefunden für den zerfällungskörper von x^4-2.
ich frage mich dabei immer noch, wenn ich das jetzt genau so vor mir stehen habe, was genau hat das mit dem "normal"-dingen zu tun, die ursprünglich zur frage standen.
ich hatte ja von beginn an das gefühl, dass es genau mit galois zu tun hat, aber mir fehlt der letzte (vielleicht sind es auch mehrere oder ein großer) schritt. vielleicht kannst du das parallel nochmal illustrieren?

15.04.2012, 10:10

aj1_0

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aah ich glaube so langsam hab ichs (also auf die ausgangsfrage bezogen):

ich weiß jetzt, wenn ich die zwischenkörper bilde, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w,\sqrt[3]{2})/Z_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w,\sqrt[3]{2})/Z_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w,\sqrt[3]{2})/Z_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w,\sqrt[3]{2})/Z_4 \end{eqnarray*}$
jeweils galoissch sind.

im voraus weiß ich aber noch nicht, ob auch
$\begin{eqnarray*} Z_1/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_2/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_3/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_4/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
galoissch sind, bzw. normal.

aber ich weiß, dass diese genau dann normal sind, wenn die dazugehörigen untergruppen normalteiler von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w,\sqrt[3]{2})/Q \end{eqnarray*}$ sind.

jetzt ist mir bekannt, dass eine körpererweiterung vom grad 2 zur folge hat, dass die körpererweiterug normal ist. da es sich ja bei z.b. $\begin{eqnarray*} Z_1/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ um eine körpererweiterung handelt, kann ich dies jetzt darauf anwenden.
falls die jetzt von grad 2 sein sollte, dann weiß ich, dass die untergruppe, die ich zuordnen können sollte, normal in Gal(L/K) ist, und so hängen dann körperweiterung und normalteiler zusammen.

stimmt das so?

dass L/Z galoissch ist, wenn L/K galoissch ist, aber Z/K "nur" erst mal endlich und separabel, woher weiß ich das? sagt das der hauptsatz der galoistheorie, also ist das da irgendwo drin?
...
okay ich habs glaube ich. beim schreiben wird einem manchmal noch was klarer.
bei "meiner" ausführung steht:
"für einen zwischenkörper M ist die erweiterung M/K normal genau dann, wenn Gal(L/M) normalteiler in Gal(L/K)
das ist es doch, oder?
krass, wie viel in diesen paar sätzen steckt.

15.04.2012, 10:45

Mystic

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Ja, ich denke du hast es nun verstanden.. Freude

Freude

Was die Bildung der Zwischenkörper Z angeht, mache ich das auch mehr nach "Gefühl", was hier noch zielführend ist... Ich adjungiere einfach solange ein oder mehrere Basiselemente der Körpererweiterung L/K, bis ich "genug" beisammen habe (ich weiß ja, wieviele es sein müssen!), wobei Adjunktionen, die auf den gleichen Zwischenkörper führen, natürlich ausgeschieden werden müssen...

15.04.2012, 10:50

aj1_0

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ich brauche ja 4 zwischenkörper, da ich 6 automorphismen habe, 6 untergruppen habe und meine erweiterung vom grad 6 ist?!
außer den 4 zwischenkörpern, gibt es ja dann noch die zwei trivialen zwischenkörper, also Q und L. deshalb, weiß man dann, wie viele man benötigt, ja?!

ansonsten hat mich das hier unglaublich weiter gebracht, denke ich, weil ich davor zwar alles losgelöst voneinander betrachten konnte, aber die zusammenhänge zu sehen ist schon manchmal nicht ganz leicht.

vielen vielen dank

15.04.2012, 11:05

Mystic

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Ja, stimmt so... Freut mich, dass ich dir helfen konnte... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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