Ableitung (1-cos)² + Taylorpolynom

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thechus Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung (1-cos)² + Taylorpolynom
Liebes Forum,

meine Frage ist, was sind die Ableitungen von (1-cos)² und wie ermittle ich damit die Taylor Polynome 4. Grades??

Vielen Dank für eure Hilfe!


Gruß,
thechus
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung (1-cos)² + Taylorpolynom!
Hi,

um das Taylorpolynom 4. Grades zu erhalten musst du deine Funktion 4 mal ableiten. Du könntest als erstes ja mal den Term ausmultiplizieren. smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich habe dazu einen Artikel verfasst: [Artikel] Taylorapproximation

Du brauchst die Ableitungen, genau, aber vorrechnen lassen solltest du dir nicht. Mach dich selbst ran. Augenzwinkern Du brauchst hier eigentlich nur die Kettenregel. Probier es mal. Und: Wo soll das Taylorpolynom gebildet werden? Das muss man auch noch wissen.

(Dann sieh mal zu, hangman. Augenzwinkern Bin raus.)
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm....

Dann hab ich mich mal an die erste Ableitung gemacht:












Kann das stimmen?

Ich poste derweil die Aufgabenstellung.

Gruß,
thechus
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Ableitung ist korrekt,



Was du allerdingt bei dem Schritt darunter gemacht hast weiß ich nicht... verwirrt
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

So die Aufgabe lautet:

Verwenden Sie die Taylor - Reihen für Sinus und Cosinus und ermitteln Sie damit die Taylor - Polynome 4. Grades für h² und s².

Bekannt ist:













Das soll aproximiert werden.

Ich habe im nächsten Schritt nur mit 2 ausgeklammert wenn das möglich ist.

Anbei: Skizze

Edit: Hinter Sinus und Cosinus kommt immer dieses Winkelzeichen. Hab ich rausgelassen (Omega heißt es glaube ich)


Gruß,
thechus
 
 
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

aww... dann hier vllt mal die zweite Ableitung?











Korrekt?

Gruß,
thechus
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ne.
das hätte doch die Produktregel sein müssen oder?



Ahh.. verwirrt

Gruß,
thechus
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man mir denn nicht wenigstens bei den Ableitungen unter die Arme greifen? Tränen

Das is ziemlich wichtig im Moment und ich brauch Sicherheit Big Laugh

Meeeh

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
Bei wendet man spätestens nach der
1-ten Ableitung
das -Additionstheorem an ... ,
sodaß die weiteren Ableitungen einfacher werden, ...
wenn man nicht sofort erkennt, daß gerade ist.
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (sin-Term vergessen):
1-te Ableitung
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh...

Ich muss grad versuchen das zuverstehen, weil mich verwirrt wie du auf diese 1. Ableitung gekommen bist?

Wennich meinen Term ausmultipliziere komme ich auf

-4cos*sin


verwirrt

Wääh sorry für die dumme Frage.

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Ableitung geht mit Kettenregel ....
innere x äussere Ableitung.

Dann mult. die Klammer aus.

Mit dem Tipp erhält man:
Jetzt geht das Ableiten einfacher ...

Dann: An der Stelle wir nennen von Cels-Artikel
steht die Formel, wobei Dich interessiert und geeignet erscheint.
Dieses heisst Entwicklungspunkt.

Du solltest feststellen,
sodaß ein Monom ist ...


und daß gute Arbeit bzgl. bei leistet.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

okay bis dahin kapiert!

danke dir!

Jetzt verwirrt michncoh folgendes:

In der Lösung steht für h^2:



Da kommen in mir Rätsel auf.............. verwirrt

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen bislang, daß die Taylorentwicklung
von um wie folgt aussieht:



weil:
    (siehe oben)
    für ungerades (f ist gerade)
    also bleiben nur gerade mit


Die Koeff. entstehen aus den Ableitungen (Cels Artikel gelesen ??!)
per , genauer den Ableitungen am Entwicklungspunkt.

Rechne also noch ein paar Ableitungen aus ...

Zur Kontrolle: In Deiner Notation folgt


Ansonsten steckt in
Zitat:

das Kosinus-AdditionsTheorem.
Mit einem Fehler , weil

Falls Du wirklich verstanden hast, poste mal den Koeffizienten von .

_________

PS.: und lass nicht immer das Argument einer Funktion weg !!
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Den Fehler nehme ich zurück. Die Formel in dem Zitat stimmt wegen

und
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

Ich glaub es hapert da bei mir grad an den Ableoitungen,
Bin grad. ein wenig auf dem Holzweg aber gleichzeitig extrem erfreut darüber jemanden gefunden zu haben, der mir das erklären kann.

Beim koeffizienten komme ich auf



Wenn ich die 3. Ableitung ausrechne komme ich auf 2....?


Oh man unglücklich

Gruß,
thechus
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich klatsch erstmal meine Ableitungen hin. Ich glaube, dass ich deswegen ein wenig verwirrt bin:
















... da muss was nicht stimmen..... und die 10. Ableitung wollt ich nimma hinschreiben. Wären ja Folgefehler.

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin für , was nix heissen muss.

vertausche und ... (das ist ein Produkt), dann stimmts auch mit der .

Fehler: Vorzeichen vor
Fehler: wie
Fehler: wie , dh. beachte

Nahe dran, aber vorbei.
Auf gehts ...
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Wow!

Super Sache jetzt klappts! Freude

Jetzt noch zwei Fragen, dann sollte es eigentlich verstanden sein.

1. Wieso werden denn die Koeffizienten in der Lösung ausgelassen?

2. Wie kommt denn bei der Lösung der Nenner zustande?





24 ist ja glaube ich die Fakultät von 4 = 1*2*3*4 = 24.

Und die 4? verwirrt

__
edt: Ich glube, dass ich ne ausführlichere Erklärung für die Bildung des Nenners benötige unglücklich

Sorry, wenn das nervt.


Gruß,
thechus
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nein!
Wie konnte ich das übersehen.
Es wurde lediglich gekürzt...
Sehr schön Big Laugh

Ich könnte dir nicht genug danken!

Dann mach ich mich jetzt mal an s..... Hammer

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Weggelassene Koeff. hab ich oben erklärt ... ungerade Ableitungen enthalten sin und der ist bei x=0 WAS ??!

Die entsteht durch , wobei die aus entsteht, zusammen also ...
der Koeff.

Ein paar dieser

Im Kleinen ...


approx. sie gut ...

Im Grossen ...


... nicht.
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:

Die Ableitungen von an der Stelle haben

ff. Gesetz :

damit die Koeff.:

sodass man die für
beliebig aufschreiben kann.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

So...
Ja soweit habe ich alles nachvollziehen können... hoffe ich zumindest Big Laugh

Die selbe Prozedur jetzt für s²:

Funktionen:












Lösung lautet:


__
Edt: 2 vergessen ...
Meine Frage lautet hier einfach nur, ob die Ableitungen korrekt sind.
Von f(x) auf f'(x) habe ich ein Additionstheorem benutzt und mit 0,5 gekürzt.
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings gilt und man sieht, wie die
als Polynome das Mitschwingen lernen .
[attach]23966[/attach]

Rest(= 03:31) So., nachmittag Wink
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeee! smile
Gute Nacht
Wink
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

mit Kos.Add.Theorem
mit Sin.Add.Theorem oder obiger re.Seite.

Scheint mir, als wäre um +1 verrutscht *lol*
Mach Pause, Kollege. Big Laugh
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

haha Big Laugh Ja is mir schon aufgefallen
Is ne dumme Angewohnheit von mir Nächte durchzumachen wenn ich an etwas nah ran bin was mich interessiert.

Ich habe über ne Woche lang über diese Herleitung nachgedacht!

Und heute hab ichs endlich! ... Bin gleich fertig mit aufschreiben... sind 5 seiten geworden .. dann kann ich Pause machen :P

Vielen Dank nochmal Big Laugh

Du hast einen Menschen sehr glücklich gemacht Freude

Gruß,
thechus
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, Lösung falsch abgeschrieben ??!




Ist wieder so ähnl. wie vorher ... ist gerade, daher: ungerade Koeff. fallen weg.

Wir brauchen nur die geraden Ableitungen
und die kannst DU herausfinden ...

sodaß wieder Koeff. für unsere
(die da oben sind schon gekürzt)


Iss langweilig, oder ??
Immer dasgleiche ... Wink
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Haha Big Laugh Hammer
Ja stimmt wohl. Ich hatte gestern bloß keine Lust mehr, das zu korrigieren.
Aber danke, dass du mich druf hinweist. Freude
In meinen Aufzeichnungen ist jetzt aber definitiv alles richtig.
Die Nacht hat sich gelohnt Big Laugh

Gruß,
thechus
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