Basis aus Zylindermengen

11.04.2012, 13:52	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis aus Zylindermengen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{D} = \lbrace 0, 1 \rbrace^\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , ausgestattet mit der Produktopologie ( $\begin{eqnarray} \lbrace 0, 1 \rbrace \end{eqnarray}$ sei mit der diskreten Topologie ausgestattet). Für ein Wort $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ (d.h. eine endliche 0 ? 1 - Folge) sei $\begin{eqnarray} w \mathbb{D} \end{eqnarray}$ die "Zylindermenge" aller Folgen in $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ , die mit der Sequenz $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ beginnen. Zeige, dass die Menge aller Mengen der Form $\begin{eqnarray} w \mathbb{D} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ die Menge der endlichen Wörter durchläuft, eine Basis der Topologie bildet. Zeige, dass jede solche Zylindermenge offen und abgeschlossen ist. Meine Ideen: Die diskrete Topologie von $\begin{eqnarray} \lbrace 0, 1 \rbrace \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathcal{O} = \lbrace \emptyset, \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 0, 1 \rbrace \rbrace \end{eqnarray}$ Die Produkttopologie von $\begin{eqnarray} \mathbb{D} = \lbrace 0, 1 \rbrace^\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathcal{O} \times\ldots\times \mathcal{O} = \lbrace (d_n)_{n \in\mathbb{N}} : d_n \in \emptyset, \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 0, 1 \rbrace \rbrace \end{eqnarray}$ Die Basis der der Topologie soll $\begin{eqnarray} \mathcal{B} = \lbrace \lbrace (0)\mathbb{D} \rbrace, \lbrace (1)\mathbb{D} \rbrace, \lbrace (0,0)\mathbb{D} \rbrace, \lbrace (0,1)\mathbb{D} \rbrace, \ldots \rbrace \end{eqnarray}$ Mein erstes Problem ist, dass die Folge $\begin{eqnarray} (0)_{n \in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ zwar in der Produkttopologie enthalten ist, jedoch nicht durch Vereinigung von Elementen aus $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ gebildet werden kann. Wo ist mein Denkfehler und wie soll geht man dieses Beispiel am Besten an. Danke schon mal für eure Hilfe! Mfg wellenoptik
11.04.2012, 19:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (0)_{n\in\mathbb N}=0(0)_{n\in\mathbb N}\in 0\mathbb D\in\mathcal B \end{eqnarray}$ , also kein Problem.
14.04.2012, 17:49	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsvorschlag Sei $\begin{eqnarray} X_n = \lbrace 0, 1 \rbrace \end{eqnarray}$ ein topologischer Raum mit diskreter Topologie $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_n = \lbrace \emptyset, \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 0, 1 \rbrace \rbrace \end{eqnarray}$ . Die Basis der Produkttopologie $\begin{eqnarray} \mathcal{O} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \prod\limits_{n \in\mathbb{N}} X_n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lbrace \prod\limits_{i \in I} O_i \times \prod\limits_{i \in\mathbb{N}\setminus I} X_i \ \| \ O_i \in\mathcal{O}_i, \vert I \vert < \infty \rbrace \end{eqnarray}$ Die Menge $\begin{eqnarray} \lbrace \prod\limits_{i \in I} O_i \ \| \ O_i \in\mathcal{O}_i, \vert I \vert < \infty \rbrace \end{eqnarray}$ ist die Menge aller endlichen Wörter $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lbrace \prod\limits_{i \in\mathbb{N}} X_i \rbrace \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ . Man sieht also die Menge, dass die Basis der Produkttopologie tatsächlich die Menge $\begin{eqnarray} w \mathbb{D} \end{eqnarray}$ ist. Ist diese Argumentation ausreichend?

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