Entwicklungspunkt, Koeffizienten, Konvergenzbereich ermitteln

Neue Frage »

11.04.2012, 17:59	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
Entwicklungspunkt, Koeffizienten, Konvergenzbereich ermitteln Hallo, folgende Aufgaben bereiten mir wieder einmal Kopf zerbrechen. Bestimmen Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten, den Konvergenzbereich. a.) $\begin{eqnarray} 5+3(x+2)^2-4(x+2)^3 \end{eqnarray}$ Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 =-2 \end{eqnarray}$ Koeffizienten: $\begin{eqnarray} a_0=5 ; a_1=0 ; a_2=3 ; a_3 = -4 <br /> \forall n \geq 4 : a_n = 0 <br /> P(x) = 5 + \sum\limits_{n=3}^4 n(x-x_0)^{n-1} <br /> \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig und wie bestimme ich jetzt den Konvergenzradius? Ist das dann $\begin{eqnarray} r= \frac{n}{n+1} = ??? \end{eqnarray}$ Was ist das? b.) $\begin{eqnarray} 1+ \frac{1}{1^2}x+\frac{1}{2^2}x^2+\frac{1}{3^2}x^3+...+\frac{1}{k^2}x^k+... \end{eqnarray}$ Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ Koeffizienten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(x) = 1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r= \frac {(n+1)^2}{n^2}= 1+ \frac{2n}{n^2}=1 \end{eqnarray}$ Konvergenzbereich wäre dann von -1 bis +1 oder muss ich die 1 vor dem Summenzeichen dann auch noch irgendwie beachten? Stimmt das soweit? Wäre sehr dankbar , wenn jemand das mal anschaut, da die Aufgaben anhand meiner Vorlesungsmitschriften kaum machbar sind MfG
11.04.2012, 21:42	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat vllt. Jemand eine zu meiner 2. Aufgabe? Die ist wichtiger :-)
11.04.2012, 21:56	Totto-GE	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Ein Polynom konvergiert für jedes x ... (b) $\begin{eqnarray} r = \lim_{n \to \infty} (\cdots) \end{eqnarray}$ zumindest. und richtig rechnen muss man auch noch ... auch wenn das Resultat stimmt.
11.04.2012, 22:08	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei b habe ich r meiner Meinung nach richtig gerechnet. Aber das Limes hab ich mir hier gespart. Sind denn auch die Summen richtig? Ich hab ja mich das Problem bei b. mit dem Konvergenz Bereich wegen der 1 vor dem summenzeichen. Ist dann der Bereich von -2 bis +2??
11.04.2012, 22:32	Totto-GE	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Konv.Bereich stört vor der Summe nix. Wenn $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ Entwick.Pkt. und $\begin{eqnarray} r=0 \end{eqnarray}$ Konv.Radius, ist der Bereich irgendwas zwischen -1 und +1. - Der Konvergenzbereich ist ein Intervall. Mit oder ohne Endpunkten. - Und DAS schreibt man dann auch.
11.04.2012, 22:47	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist gut. Soweit ich weiß konvergiert bei r=0 die Reihe nur für $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$ was dann an deinem Beispiel x=0 wäre. Hat aber auch nichts mit dieser Aufgabe zu tun.
Anzeige

11.04.2012, 22:59	Totto-GE	Auf diesen Beitrag antworten »
uuuh, Schreibfehler. Hier ist natürlich $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ Ich wollte eigentlich ein korrektes Intervall von Dir sehen ...
11.04.2012, 23:15	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -1\geq x \leq1 \end{eqnarray}$ würde ich jetzt schreiben.
11.04.2012, 23:42	Totto-GE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ ist richtig, wobei $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ klar war. Begründung: $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n^{\color{red}2}} \end{eqnarray}$ konvergiert und Du weisst natürlich, dass $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n^{\color{red}1}} \end{eqnarray}$ dies nicht tut ??!
12.04.2012, 09:58	KingWarrior	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das weiß ich :-)

Neue Frage »

Antworten »

Entwicklungspunkt, Koeffizienten, Konvergenzbereich ermitteln

Verwandte Themen