Konvergenzradius einer Potenzreihe

11.04.2012, 19:00

ralpho

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Hallo,
Ich soll den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n!*(\frac{z^n}{n^n})^n \end{eqnarray*}$ bestimmen. Über das einfache $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist das ja nicht zu bewerkstelligen.
Jetzt wollt ich es über das Wurzelkriterium mittels $\begin{eqnarray*} \limsup_{x->\infty} \sqrt[n]{n!*(\frac{z^n}{n^n})^n}<1 \end{eqnarray*}$ lösen. Dabei stoße ich jedoch auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ . Darf ich hierbei eine Abschätzung benützen? Würde ich dabei nicht den ganzen Konvergnezradius "verschieben"?

Danke
Ralph

11.04.2012, 20:06

HAL 9000

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Nutze einfach die grobe Abschätzung $\begin{eqnarray*} n! \leq n^n \end{eqnarray*}$ : Wenn du nämlich zeigst, dass für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bereits

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^n\cdot \left(\frac{z^n}{n^n}\right)^n}<1 \end{eqnarray*}$

gilt, dann folgt durch diese Majorisierung daraus dann auch das beabsichtigte

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!\cdot \left(\frac{z^n}{n^n}\right)^n}<1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

11.04.2012, 20:23

ralpho

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Hallo,

Also reicht es, zu sagen da $\begin{eqnarray*} \lim_{n->\infty}n*\frac{z^n}{n^n}=0 \end{eqnarray*}$ ist der limsup ebenfalls 0 und somit für alle z kleiner als 1. Daraus folgere ich, dass diese Potenzreihe für alle z konvergent ist und Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat.

Danke

11.04.2012, 20:31

HAL 9000

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Korrekt.

Mir fällt allerdings gerade auf, dass du im Wurzelkriterium mit $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ argumentieren solltest - $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kann schließlich auch negativ bzw. sogar beliebig komplex sein...

11.04.2012, 23:29

Totto-GE

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Hinweis :
Über das einfache $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ wird das ein wunderbar einfacher TeleskopBruch, an dem sich der Konv.Rad. $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ direkt ablesen lässt ...

12.04.2012, 07:29

HAL 9000

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@Totto-GE

Der Konvergenzradius ist nicht $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , er ist (wie bereits festgestellt) gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Möglicherweise hast du nicht richtig gelesen: Da steht nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n!\cdot \frac{z^n}{n^n} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n!\cdot \left( \frac{z^n}{n^n} \right)^n \end{eqnarray*}$ !!!

23.04.2012, 12:12

ralpho

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Zitat:

Original von HAL 9000
Korrekt.

Mir fällt allerdings gerade auf, dass du im Wurzelkriterium mit $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ argumentieren solltest - $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kann schließlich auch negativ bzw. sogar beliebig komplex sein...

Hab ich so gemacht und hat wunderbar gepasst. Danke!

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