Gleichung mithilfe von Fubini zeigen

11.04.2012, 19:12	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mithilfe von Fubini zeigen Meine Frage: Hallo Leute! Ich habe hier eine Aufgabe und komme einfach nicht voran. Wenn mir jemand hilft, wäre ich euch wirklich sehr dankbar!! $\begin{eqnarray} [a,b] \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist ein beschränktes Intervall und $\begin{eqnarray} f,g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -integierbar. Für $\begin{eqnarray} x \in [a,b] \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} F(x) := \int_{a}^{x} f(t) dt \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G(x) := \int_{a}^{x} g(t) dt. \end{eqnarray}$ Mithilfe des Satzes von Fubini ist folgendes zu zeigen: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} F(x)g(x) dx = F(b)G(b) - \int_{a}^{b} f(x)G(x). \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mir den Fubini angesehen, aber irgendwie gibt es da mehrere Versionen davon und ich finde keinen wirklich Ansatz. Wie muss ich denn rangehen? Ich finde einfach keinen Weg zur Lösung und wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
11.04.2012, 21:23	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mithilfe von Fubini zeigen Ich denke die Idee soll sein, auf der linken Seite das F(x) durch das Integral auszudrücken. Dann musst du die Reihenfolge der Integrationen vertauschen, um die Integration über x ZUERST auszuführen (hinterher dann x in t umbenennen um das zweite Integral in die dort geschriebene Form zu bringen). Fubini sagt dir jetzt, wann du die Integrationen vertauschen darfst. Du solltest am Besten die Version aus der Vorlesung oder dem Buch, dem die Aufgabe entnommen ist, benutzen! Gruß MI
11.04.2012, 22:28	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RE: Gleichung mithilfe von Fubini zeigen Das habe ich schon probiert und es hat mich nicht weitergebracht. (Natürlich kann es sein, dass ich mich verrechnet habe) Ansonsten habe ich mittlerweile einiges versucht, die Terme entsprechend umzuformen, allerdings kam da bis jetzt nix sinnvolles raus Speziell war es der Term $\begin{eqnarray} G(b)F(b) \end{eqnarray}$ , der irgendwie so aussieht, als wäre da was drin. Der lässt sich ja dann mit den Integralen ausdrücken. Einer der beiden anderen Ausdrücke lässt sich da auch rausschälen, allerdings krieg ich den letzten nicht zusammengebastelt. Mit der Produktregel der Differentiation lässt sich das allerdings recht schnell zeigen (ging in 4 Zeilen). Aber wo ist da der Fubini?
11.04.2012, 23:54	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RE: Gleichung mithilfe von Fubini zeigen Dann hast du dich verrechnet . $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} F(x)g(x) dx <br /> = \int_{a}^{b} \int_{a}^{x} f(t) dt g(x) dx <br /> = \int_a^b \int_a^x f(t)g(x)\,dtdx<br /> \stackrel{\mathrm{Fubini}}{=}~~~\int_a^b \int_t^b g(x)f(t)\,dxdt<br /> =\int_a^b (G(b)-G(t))f(t)\,dt<br /> = F(b)G(b) - \int_{a}^{b} f(t)G(t)\,dt. \end{eqnarray}$ Et voilà. Gruß MI
12.04.2012, 12:38	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
falsche Intervallgrenze Vielen, vielen Dank!! Du hast recht. Ich hatte an der einen Stelle falschrum gedacht und die falschen Intervallgrenzen eingesetzt. Damit kam ich dann natürlich nicht weiter. Jetzt ist die Lösung der Aufgabe naürlich klar. Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!! Paradiesvogel

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