unbestimmtes integral lösen aber wie

11.04.2012, 20:18

chrlan

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unbestimmtes integral lösen aber wie

Meine Frage:
Berechnen Sie die unbestimmten Integrale

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1+e^x},\qquad \int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der ersten habe ich eine Lösung. würde gerne wissen ob das richtig ist:

$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{1+e^x}\\ du=-\frac{1}{(1+e^x)^2}dx\\ \int\frac{dx}{1+e^x}=\int-\frac 1 u du=-\log u+c=-\log\left(\frac{1}{1+e^x}\right)+c=\log(1+e^x)+c \end{eqnarray*}$

bei der zweiten habe ich allerdings noch keinen ansatz. hab da auch an eine substitution gedacht aber das scheint nicht zu funktionieren... würde mich über hilfe wirklich freuen.

11.04.2012, 21:03

original

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RE: unbestimmtes integral lösen aber wie

Zitat:

Original von chrlan

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der ersten habe ich eine Lösung. ..<- nein, die hast du nicht..

$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{1+e^x}\\ du=-\frac{1}{(1+e^x)^2}dx \end{eqnarray*}$
......................................... unglücklich

unglücklich

unglücklich

-> die Ableitung ist falsch .. du hast die Quotientenregel nicht richtig verwendet.

Tipp
versuch es neu lieber damit: es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+e^x}= 1- \frac{e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

ok?

PS
die zweite ist ein echt fieses Ding.. und gewiss nicht friedlich zu lösen..
aber möglicherweise hast du ja die Aufgabe nicht richtig notiert?
schau also da erst nochmal ganz genau nach..
.

12.04.2012, 10:58

chrlan

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dann funktioniert die substitution leider nicht mehr...

die zweite ist richtig aufgeschrieben. finde die auch ziemlich hart. hat vielleicht jemand eine idee?

12.04.2012, 11:03

chrlan

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hab bei der ersten jetzt e^x+1 substituiert. komme dann auf das:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1+e^x}=x-\int \frac{e^x}{1+e^x}dx=x-\int\frac{du}{u}=x-\log u+c=x-\log(e^x+1)+c \end{eqnarray*}$

bei der zweiten habe ich allerdings immer noch keinen schimmer Hammer

Hammer

12.04.2012, 11:19

original

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Zitat:

Original von chrlan

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1+e^x}=x-\log(e^x+1)+c \end{eqnarray*}$

bei der zweiten habe ich allerdings immer noch keinen schimmer

smile

1) ist nun richtig - allerdings solltest du nicht irgendeinen log nehmen, sondern den ln ..

2) bei der zweiten wird dir mit Sicherheit auch weiterhin nichts schimmern,
geschockt

geschockt

solange du halt die Aufgabe nicht korrekt aufschreiben kannst..

12.04.2012, 11:21

chrlan

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ich hab doch nachgeguckt. die ist so richtig aufgeschrieben.

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12.04.2012, 11:28

original

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Zitat:

Original von chrlan
ich hab doch nachgeguckt. die ist so richtig aufgeschrieben.

..

unglücklich

glaub ich nicht, denn vermutlich erwartet man von dir nicht, dass du mit
hypergeometrischen Funktionen klarkommst... - oder?

Wink

Wink

12.04.2012, 11:31

chrlan

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ist richtig aufgeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

kp wie das gehen soll...

12.04.2012, 14:54

Mulder

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Zitat:

Original von chrlan
ist richtig aufgeschrieben

Dann muss man wohl von einer fehlerhaften Aufgabenstellung ausgehen. Soll's ja auch geben.

Denn mit diesem Scheusal von Integral ist auf herkömmlichen Weg einfach nichts anzufangen. Steht jedenfalls in keinem Verhältnis zur ersten Aufgabe, die ja sehr simpel war.

Schau mal, was Mathematica damit macht.

12.04.2012, 14:57

Cel

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Mal ein kurzer Einwurf:

Zitat:

Original von original
1) ist nun richtig - allerdings solltest du nicht irgendeinen log nehmen, sondern den ln ..

Heutzutage wird an den Unis nicht mehr ln geschrieben - so die Meinung vieler Profs an meiner Uni. log = natürlicher Logarithmus.

12.04.2012, 15:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cel
Heutzutage wird an den Unis nicht mehr ln geschrieben - so die Meinung vieler Profs an meiner Uni. log = natürlicher Logarithmus.

Dann hoffen wir mal, dass es sich irgendwann auch mal bei den Taschenrechner-Herstellern herumspricht. Auf meinem TR sind jedenfalls die Tasten $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ für den natürlichen, und $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ für den dekadischen Logarithmus zu finden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Solange dieses Wirrwar vorherrscht, verwende ich jedenfalls konseqent $\begin{eqnarray*} \ln = \log_e \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lg = \log_{10} \end{eqnarray*}$ sowie schon seltener $\begin{eqnarray*} \operatorname{ld} = \operatorname{lb} = \log_2 \end{eqnarray*}$ , allgemein dann $\begin{eqnarray*} \log_a \end{eqnarray*}$ bei Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

17.04.2012, 18:09

Hanna21

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Hallo,

Ich habe das gleiche Problem wie chlan (sitze wohl auch in der gleichen Vorlesung :-) ).
Und zwar bezüglich des zweiten Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} \, dx \end{eqnarray*}$

Wir haben dann heute mal gefragt, und unser lieber Dozent ist der Überzeugung, wir könnten dieses lösen, auch ohne diese 'hypergeometric funktion'.
Er meinte wir sollten doch ein wenig Substituieren und auch partiell Integrieren, umschreiben etc. und dann würd da schon was Vernünftiges bei rumkommen.
Nur leider sind jegliche meiner Versuche fehlgeschlagen. Egal wie ich versucht habe es umzuscheiben.

Deswegen möchte ich damit gerne nochmal das Integral ein wenig in den Vordergrund rücken, in der Hoffnung, dass doch jemand von euch noch eine zündene Idee hat, wie ein armer 2. Semesterstudent das lösen kann :-)

Liebe Grüße und vielen Dank
Hanna

17.04.2012, 18:33

HAL 9000

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Geht es möglicherweise um ein bestimmtes, uneigentliches Integral wie etwa

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ?

Da könnte man schon eher was tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2012, 20:30

Valdas Ivanauskas

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Auch für das unbestimmte Integral sollte sich etwas machen lassen.

Mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} t^3=\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$

findet man eine Stammfunktion, die in geschlossener Form als Summe von $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ ,
jeweils mit gebrochen rationalen Argumenten, darstellbar ist.

17.04.2012, 20:53

HAL 9000

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Pfiffig.

Freude

Selbst gesehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2012, 21:14

Valdas Ivanauskas

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Ohne Wolframalpha musste man früher -und muss man gelegentlich noch immer- halt ein paar Tricks parat haben.

17.04.2012, 21:19

Mulder

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Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Ohne Wolframalpha musste man früher -und muss man gelegentlich noch immer- halt ein paar Tricks parat haben.

Ein übler Tritt in die Magengegend - aber gerechtfertigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke jedenfalls auch von meiner Seite. Ich wäre da in diesem Fall wohl nie drauf gekommen. smile

smile

03.05.2012, 09:31

chrlan

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haben letzte woche die lösung gekriegt. echt fies. wäre ich auch nie drauf gekommen...

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