Einführung Differentialrechnung:Stetigkeit reeler Funktionen

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11.04.2012, 20:31	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
Einführung Differentialrechnung:Stetigkeit reeler Funktionen Meine Frage: Hallo, wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen. Untersuchen Sie die Funktion f an der Stelle 2 auf Stetigkeit. Meine Ideen: Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll, weil ich nicht weiß, was die geschweifte Klammer bedeutet. Heißt das, dass einmal f(x)=1 ist und f(x)=2 ist, aber dann wären es ja zwei verschiedene Funktionen?
11.04.2012, 20:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre hilfreich, wenn du die Funktion angibst. So kann man nichts dazu sagen.
11.04.2012, 20:35	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß , ich wollte noch die funktion anhängen als datei, aber klappt irgendwie gerade nicht
11.04.2012, 20:38	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
?
11.04.2012, 20:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, es handelt sich um eine Funktion der Art $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} f_1(x) & x\leq a \\ f_2(x) & x>a \end{cases} \end{eqnarray}$ ? Dann kopier den Code dafür und füg die passenden Teilfunktionen ein. Edit: Ok, das Bild hat geklappt. Was für Kriterien hattet ihr denn, um auf Stetigkeit zu prüfen?
11.04.2012, 20:43	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben gelernt, dass ein stetiger Verlauf vorliegt wenn 1. f an der Stelle x0 definiert ist 2. der Grenzwert von f muss an der stelle x0 existiieren und mit dem funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen
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11.04.2012, 20:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, damit kann man doch arbeiten. 1. Was sagst du dazu, ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ definiert? 2. Wie lautet der Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ ? Wie sieht es mit dem Grenzwert aus? (Stichwort: linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert)
11.04.2012, 20:51	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
das verstehe ich nicht so ganz. also ich habe jetzt zwei verschiedene funktionen mit verschiedenen bedingungen für das x. einmal f(X)=1 und wenn ich die zwei einsetzte kommt 1 raus. die andere funktion lautet f(x)=2 tund wenn ich die 2 einsetzt für x kommt 2 raus. ich versteh das irgenwie gerad überhaupt nicht...
11.04.2012, 20:52	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
und was hat das mit dem linken oder rechten grenzwert auf sich?
11.04.2012, 21:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Funktion besteht aus zwei Teilfunktionen. Wenn du einen x-Wert zwischen 0 und 2 (jeweils eingeschlossen) einsetzt, befindest du dich im ersten Fall, du musst also die erste Teilfunktion verwenden. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} f(1)=1 \end{eqnarray}$ , ebenso $\begin{eqnarray} f(1{,}5)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0{,}5)=1 \end{eqnarray}$ , die x-Werte sind alle zwischen 0 und 2. Wenn wir nun einen x-Wert haben, der größer als 2 ist, befinden wir uns im zweiten Fall, die zweite Teilfunktion ist also jetzt aktiv. $\begin{eqnarray} f(2{,}5)=2 \end{eqnarray}$ genau wie $\begin{eqnarray} f(2{,}8)=2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ ist nur in einem dieser Fälle möglich, in welchem?
11.04.2012, 21:04	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
die erste teilfunktion
11.04.2012, 21:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Also haben wir einen eindeutigen Funktionswert für $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ (das eindeutig ist hier wichtig, sonst wäre es keine Funktion mehr). Jetzt haben wir den Funktionswert, wie sieht es dann mit dem Grenzwert aus? Kannst du den berechnen?
11.04.2012, 21:16	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich habe jetzt f(2)=1, also muss ich jetzt den lim berechnen mit x gegen 2 und dann kommt ja f(x)=1 raus.
11.04.2012, 21:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt da wirklich $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 2}f(x)=1 \end{eqnarray}$ raus? Wenn du dich von unten (bzw. auf den Zahlenstrahl bezogen von links) an die 2 annäherst, dann stimmt das; schließlich befinden wir uns dann im ersten Fall, alle x-Werte sind kleiner als 2. Wie sieht das aber aus, wenn du dich von oben, oder eben von rechts an die 2 annäherst? Zu den links/rechtsseitigen Grenzwerten: Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to x_0} f(x) \end{eqnarray}$ existiert genau dann, wenn der linksseitige oder untere Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow x_0} f(x) \end{eqnarray}$ und der rechtsseitige oder obere Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\downarrow x_0} f(x) \end{eqnarray}$ existieren und übereinstimmen, wenn also $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow x_0} f(x)=\lim\limits_{x\downarrow x_0} f(x) \end{eqnarray}$ ist.
11.04.2012, 21:29	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
naja wenn ich von rechts mich nähere, dann wäre das untere teilfunktion also lim x gegen 2 f(x)=2 ??
11.04.2012, 21:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du damit dann den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert berechnen und aufschreiben? Was sagst du dann zur Existenz des (allgemeinen) Grenzwertes?
11.04.2012, 21:37	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
der linke grenzwert ist die obere Teilfunktion, weil die 1 weiter links steht und der rechte grenzwert die untere teílfunktion, weil die 2 rechts steht?? hab das irgendwie nicht richtig verstanden.. auf jeden fall sind die nicht identisch und somit ist die funktion nicht stetig
11.04.2012, 21:40	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich meine der linke grenzwert ist die funktion f(x)=2, weil sie auf der y-achse weiter oben steht?
11.04.2012, 21:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist keine Teilfunktion. $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow 2} f(x) \end{eqnarray}$ , wir nähern uns der 2 von unten an, d.h. sämtliche x-Werte sind kleiner als 2. Daher können wir für den unteren Grenzwert schließen: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow 2} f(x)=1 \end{eqnarray}$ . Wenn wir uns den oberen Grenzwert ansehen, ändert sich das und somit ist $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\downarrow 2} f(x)=2 \end{eqnarray}$ . Sie stimmen nicht überein, der Grenzwert existiert nicht, und die Funktion ist in $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ nicht stetig.
11.04.2012, 21:48	YINA	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dankeschön

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