limes eines Bruchterms

11.04.2012, 20:44

bandchef

limes eines Bruchterms

Aufgabe: Geben sie diesen Grenzwert an: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \end{eqnarray*}$

Ich hab soweit mal vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| = ... = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e^{n \cdot ln(2)+n}}{\sqrt{n}\cdot e^{n\cdot ln(n)}} \right| \end{eqnarray*}$

Weiter vereinfachen kann ich nicht mehr, bzw. ich sehe es nicht. Wenn ich in diesem Stadium die Grenzwertbetrachtung mache, dann kommt ja " $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ " raus; das ist ja schwachsinn...

11.04.2012, 20:51

Spezies8472

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Das hier schreit nach der Stirling-Formel.

11.04.2012, 20:58

Slash123

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Spontan würde ich so abschätzen, das sollte dann auch ohne Stirling gehen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \leq \left| \frac{2^n \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \end{eqnarray*}$

11.04.2012, 22:56

bandchef

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Zitat:

Original von Slash123
Spontan würde ich so abschätzen, das sollte dann auch ohne Stirling gehen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \leq \left| \frac{2^n \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte, aber was sagt mir das jetzt? Ich versteht das leider nicht so ganz... :-( Und wo ist der limes geblieben?

11.04.2012, 23:01

Slash123

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Den Limes hab ich aus Faulheit mal weggelassen. Den Grenzübergang kann man auch am Ende machen.

Was dir das sagt:

Kennst du das Sandwich-Lemma? Im Endeffekt verwendet man das hier. Du suchst was größeres und was kleineres als die Folge (die den gleichen Grenzwert haben), bildest von beiden den Limes und dann folgt, dass auch das mittlere gegen diesen Grenzwert gehen muss. Im Endeffekt habe ich dir das größere schon angegeben. Das Kleinere ist ziemlich leicht zu finden.

Vereinfache doch mal das größere und bestimme den Grenzwert.

11.04.2012, 23:08

bandchef

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \leq \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{2^n\cdot e^n}{n^n}\right| \end{eqnarray*}$

Passts so? Was muss man jetzt noch tun?

11.04.2012, 23:10

Slash123

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Die Umformung ist richtig. Gegen was geht denn der letzte Bruch, was vermutest du denn?

Was du jetzt noch tun musst, ist:

- Den Grenzwert des letzten Termes bestimmen
- Eine untere Schranke finden (das ist aber leicht)

Ich würde das ganze auch in dieser Reihenfolge machen. Wenn du nämlich den Grenzwert erst mal bestimmt hast, kommt dir vielleicht eine Idee für die untere Schranke. smile

11.04.2012, 23:16

bandchef

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \leq \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{2^n\cdot e^n}{n^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2^n \cdot e^{n \cdot (1-ln(n))} \right| \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt vom Ausdruck ganz rechts den Grenzwert bestimme, komm ich auf 0.

11.04.2012, 23:21

Slash123

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Grad stand da noch "unendlich mal unendlich" in deinem Beitrag... smile

Der Grenzwert 0 ist richtig, aber das müsste man begründen. Ein Ansatz wäre, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (2e)^n < n^n \end{eqnarray*}$ per Induktion zu beweisen, z.B. ab n = 6. Dann würde folgen, dass der Grenzwert 0 ist.

Willst du das noch machen, oder mit der unteren Schranke fortfahren?

11.04.2012, 23:23

bandchef

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Ich denke ich fahre mit der unteren Schranke fort. So genau mit Beweisen soll's nicht sein... Die untere Schranke ist doch dann auch 0, oder?

Wie bist du eigentlich auf $\begin{eqnarray*} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \leq \left| \frac{2^n \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| \end{eqnarray*}$ gekommen?

11.04.2012, 23:26

colton

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Zitat:

Original von Slash123
Ein Ansatz wäre, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (2e)^n < n^n \end{eqnarray*}$ per Induktion zu beweisen, z.B. ab n = 6. Dann würde folgen, dass der Grenzwert 0 ist.

Ich kann auch beweisen, dass $\begin{eqnarray*} n<n+1 \end{eqnarray*}$ gilt. Gilt deswegen auch? $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}=0 \end{eqnarray*}$
?
Big Laugh

11.04.2012, 23:29

Slash123

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Genau, die untere Schranke ist 0, weil der Betrag nichtnegativ ist. smile

Wie ich darauf gekommen bin... meinst du jetzt, wie ich auf die Umformung an sich gekommen bin, oder warum diese gültig ist?

Warum diese gültig ist: $\begin{eqnarray*} 2\pi n \geq 1 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ . ich mache dann den Zähler größer und deswegen wird der gesamte Bruch größer.

Wie ich auf die Umformung an sich gekommen bin, dass es Sinn macht, so abzuschätzen:
Das ist Übung. Im Endeffekt hab ich mir überlegt, was stört, und das war die Wurzel (weil Folgen, in denen nur Terme der Form $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ vorkommen leicht handzuhaben sind) ,deswegen hab ich die eben eliminiert. Wenn man sowas ein paar Mal gemacht hat, kriegt man ein Gefühl dafür und kriegt gute Abschätzungen hin, die auch zu etwas führen.
Ich fand in der Analysis I immer, dass solche Abschätzungen ein klein wenig vom Himmel fallen. Die Beweise in der Analysis I waren zwar meist ziemlich leicht (dass die Abschätzungen gelten war ja meist klar), aber wie man selbst drauf kommt, war für mich immer ein großes Problem, denn die Abschätzungen fallen am Anfang wirklich ein klein wenig vom Himmel. Da heißts enfach nur üben, üben, üben, dann wird das schon. smile

Das kriegst du schon hin. Freude

Edit: @ colton: Nein, natürlich nicht. Hab da wohl nen kleinen Fehler gemacht, das müsste man schon noch begründen. *g* Danke für den Hinweis. Kann man wohl mit $\begin{eqnarray*} n^n \geq n! \end{eqnarray*}$ machen.

11.04.2012, 23:33

bandchef

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Zitat:

Original von Slash123

ich mache dann den Zähler größer und deswegen wird der gesamte Bruch größer.

Ja, aber der größere Zähler kürzt sich ja dann bei der Vereinfachung der rechten Seite raus... Somit ist doch die rechte seite nicht mehr größergleich der linken Siete, oder? Und wieso machst du den Zähler grad mit einem Teil der Stirling-Formel größer? warum ausgerechnet mit der?

11.04.2012, 23:35

Slash123

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Doch, im Endeffekt resultiert das darin, dass im Nenner was weggelassen wird.

Ein Bruch wird größer, wenn du den Zähler größer machst, oder den Nenner kleiner. smile

Und warum ich grad die Wurzel genommen hab, hab ich in meinem vorherigen Beitrag schon erwähnt: weil sie stört. smile

11.04.2012, 23:42

colton

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Kleine Interessensfrage am Rande (danach bin ich auch still): Wie macht man das mit der Stirling-Formel? Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\le n! \end{eqnarray*}$ . Dementsprechend ist doch $\begin{eqnarray*} 0\le\frac{2^n}{n!}\le\frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \end{eqnarray*}$ , womit das Sandwich-Lemma nicht greifen würde.

11.04.2012, 23:49

Che Netzer

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Meine Güte...
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}(\tfrac ne)^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[2n]{2\pi n}\tfrac ne}\to0 \end{eqnarray*}$
Also ist auch der Grenzwert ohne die Wurzel 0. [Edit: Letzten Satz entfernt]

12.04.2012, 00:28

Slash123

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Nur weil eine anscheinend leichtere Lösung nicht gesehen wurde, ist die Denkleistung gleich 0. Dankeschön für diese Worte, motiviert mich richtig, weiter hier zu helfen.

Und jetzt mal ohne Ironie: geht das nicht netter?

Edit: (Hat sich geklärt, war ein Missverständnis)

12.04.2012, 00:30

Che Netzer

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Tut mir leid, war nicht böse gemeint Augenzwinkern

Ich editiere das lieber mal raus verwirrt

(ich meinte auch nicht, dass von anderen keine Denkleistung erbracht wurde, sondern dass für diese Lösung keine erforderlich ist (auch wenn man trotzdem nicht darauf kommen muss))

12.04.2012, 00:31

Slash123

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Achso, dann entschuldige ich mich auch dafür. Hatte das so interpretiert, dass du meinst, dass null Denkleistung erbracht wurde, denn sonst wäre man auf diese Lösung gekommen. Jetzt ist aber wieder gut. smile

12.04.2012, 08:47

Mystic

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Ja, ganz offensichtlich hat Che Netzer den Satz, dass "die hier vollbrachte Denkleistung auf das Ergebnis 0 führt" in mißverständlicher Weise verkürzt zu "Denkleistung gleich 0"... Ich denke, das kann jedem mal passieren... Augenzwinkern

13.04.2012, 16:40

bandchef

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Zitat:

Original von Che Netzer
Meine Güte...
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}(\tfrac ne)^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[2n]{2\pi n}\tfrac ne}\to0 \end{eqnarray*}$
Also ist auch der Grenzwert ohne die Wurzel 0. [Edit: Letzten Satz entfernt]

Auf die n-te-Wurzel bin ich übrigens auch schon gekommen; ich hab dann nur nichts mehr mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[2n]{2\pi n}\tfrac ne} \end{eqnarray*}$ hier anfangen können, weil ich mir nicht vorstellen gegen was $\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{2\pi n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht... Ehrlich gesagt weiß ich es immer noch nicht, auch wenn ich jetzt weiß, dass es gegen 1 geht.

Was ich selbst noch aufbringen kann, ist die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wobei ich hier in einer Klausur o.ä. nicht wüsste, ob man das nicht auch wieder beweisen müsste; oder steht das irgendwo fest? Bspw. in Bronstein's Taschenbuch der Mathematik?

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