Vereinigung von Bildern = Bild der Vereinigung?

11.04.2012, 21:22	Jayronic	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von Bildern = Bild der Vereinigung? Meine Frage: Hallo zusammen, meine Frage ist recht trivial, aber leider hat das Überfliegen von Wikipedia-Einträgen und alten Vorlesungsskripts nicht viel ergeben. Sei $\begin{eqnarray} f:A\rightarrow B \end{eqnarray}$ eine Abbildung zwischen Mengen A,B und $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ eine Folge von Teilmengen von A. Gilt dann allgemein folgende Aussage? $\begin{eqnarray} \displaystyle {f(\bigcup_{i\in I}A_{i})=\bigcup_{i\in I}f(A_{i})} \end{eqnarray}$ Oder werden dafür Surjektivität/Injektivität benötigt? Meine Ideen: Ich hatte im Hinterkopf, dass eine Vorraussetzung benötigt wird (und sonst nur eine der beiden Inklusionen gilt), habe aber im folgenden Beweis keine benutzt oder ich habe es einfach übersehen. Prinzipiell ist meine Funktion homöomorph, von daher dürfte es keine Probleme geben, aber ich wüsste es trotzdem gerne nochmal genau. Ich mache nämlich in einem Beweis regen Gebrauch von der Aussage... Meine Überlegung: $\begin{eqnarray} <br /> y\in\bigcup f(A_{i})\ <br /> \Leftrightarrow\ \exists i\in I:y\in f(A_{i})\ <br /> \Leftrightarrow\ \exists i\in I\ \exists x\in A_{i}:f(x)=y\ <br /> \Leftrightarrow\ \exists x\in\bigcup A_{i}:f(x)=y\ <br /> \Leftrightarrow\ y\in f(\bigcup A_{i})<br /> \end{eqnarray}$
11.04.2012, 21:33	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Bildern = Bild der Vereinigung? Nein, das stimmt so. Beim Schnitt dürfte es Schiefgehen ohne weitere Einschränkungen.
11.04.2012, 21:34	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Bildern = Bild der Vereinigung? sieht doch gut aus. injektivität bräuchtest du wenn du hier anstatt vereinigung den schnitt betrachten würdest. lg
01.10.2014, 20:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute, ich hatte gerade das gleiche Problem =) sehe ich das richtig, dass auf Grund der Äquivalenz jetzt auch sofort die Gleichheit der obigen Aussage gilt? Oder habe ich jetzt nur die Teilmengen Inclusion gezeigt? So wie ich es verstehe, ist das ja schon die Gleichheit, die Teilmengeninclusion würde da stehen, wenn statt $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ stehen würden. Die andere Teilmengeninclusion hätte ich ja dann mit $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ da stehen, also kann ich durch $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ gleich beides in einem zeigen richtig? Danke für die Hilfe
01.10.2014, 21:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du siehst das richtig. Die Äquivalenz zeigt die Mengengleichheit.

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