Komplexe Zahlen. Darstellung Polarform Eulerform

12.04.2012, 10:39	opusdei	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen. Darstellung Polarform Eulerform Hallo Leute, ich würde gerne wissen wie man darauf kommt: e^{ix} = cos(x)+ i sin(x) Das müssten doch einfach die zwei Darstellungsweisen der komplexe Zahlen sein? Danke für jede Antwort
12.04.2012, 11:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Taylorreihen von Kosinus und Sinus lauten bekanntlich $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=1-\tfrac{1}{2!}\phi^2+\tfrac{1}{4!}\phi^4-\tfrac{1}{6!}\phi^6+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(\phi)=\phi-\tfrac{1}{3!}\phi^3+\tfrac{1}{5!}\phi^5-\tfrac{1}{7!}\phi^7+... \end{eqnarray}$ Mulitplikation der 2.Gleichung mit der imaginären Einheit i und anschliedende Addition beider Gleichungen liefert $\begin{eqnarray} \cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)=1+i\phi-\tfrac{1}{2!}\phi^2-\tfrac{i}{3!}\phi^3+\tfrac{1}{4!}\phi^4+\tfrac{i}{5!}\phi^5-... \end{eqnarray}$ Nun ersetzt man in den Summanden mit den Potenzen 2, 3, 4, 5, ... nacheinander die Faktoren wie folgt $\begin{eqnarray} -1=i^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -i=i^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +1=i^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +i=i^5 \end{eqnarray}$ ... Das liefert $\begin{eqnarray} \cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)=1+i\phi+\tfrac{1}{2!}(i\phi)^2+\tfrac{1}{3!}(i\phi)^3+\tfrac{1}{4!}(i\phi)^4+\tfrac{1}{5!}(i\phi)^5+... \end{eqnarray}$ Weiterhin kennen wir die Taylorreihe für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} e^x=1+x+\tfrac{1}{2!}x^2+\tfrac{1}{3!}x^3+\tfrac{1}{4!}x^4+\tfrac{1}{5!}x^5+... \end{eqnarray}$ Substituiert man darin $\begin{eqnarray} x \rightarrow i\phi \end{eqnarray}$ , ergibt sich durch Vergleich die gewünschte Identität $\begin{eqnarray} \cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)=e^{i\phi} \end{eqnarray}$
12.04.2012, 11:33	opusdei	Auf diesen Beitrag antworten »
wow danke schön, genau so eine schöne Antwort habe ich mir gewünscht. Tausend Dank

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