Basisvektoren umtauschen

12.04.2012, 09:10

blubbel

Basisvektoren umtauschen

Hi

Hier ist eine Aufgabe aus dem Bosch:
[attach]23932[/attach]
EDIT Math1986: Bilder bitte immer im Forum hochladen, danke!

Bitte keine Hinweise zum Lösen der Aufgabe smile

. Vielmehr bin ich unsicher, ob ich die Frage korrekt verstehe.

Sei $\begin{eqnarray*} X=(x_1,\ldots ,x_n) \end{eqnarray*}$ .

=> Sind dann alle Matrizen gesucht, für die $\begin{eqnarray*} Ax_i=x_j \end{eqnarray*}$ (i und j dann entsprechend so, dass die Vektoren umgetauscht werden) gilt?

=> Oder ist die Suche vielmehr nach Matrizen A so, dass $\begin{eqnarray*} v\in V: A(v)_X=(v)_{\tilde X} \end{eqnarray*}$ gilt (dabei sei $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ die gleiche Basis wie X, nur mit vertauscher Reihenfolge der Basisvektoren und $\begin{eqnarray*} (v)_X \end{eqnarray*}$ die Darstellung eines Vektors v mit der Basis X)? Dies würde bedeuten, dass nur die Einträge der Vektoren von v permutiert werden.

Wie versteht ihr die Frage verwirrt

12.04.2012, 11:37

DP1996

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Wenn ich dich recht verstehe, sind beide deine möglichen Interpretationen gleichwertig. (Die Einträge des Vektors sind ja gerade die Koeffizienten der Linearkombination aus Basisvektoren. Wenn du nun zwei Basisvektoren vertauschst, jedoch weiterhin den gleichen Vektor haben willst, musst du die Koeffizienten mit premutieren... und damit permutierst du automatisch auch die Einträge des Vektors.

Trotzdem würde ich die erste Interpretation nehmen, da tust du dir wahrscheinlich leichter.

12.04.2012, 15:49

blubbel

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Ich dachte zunächst auch, dass es gleichwertig sein könnte - aber es scheint nicht so zu sein.

Ein Beispiel, wie ich das meinte (und wo mein Denkfehler wohl steckt), alle Vektoren sind Spaltenvektoren:
V = IR², X = ((2,1), (0,2)), Y = ((0,2), (2,1))

Ist nun nach der Matrix A gesucht, für die gilt:
A*(2,1)=(0,2)
A*(0,2)=(2,1)
d.h. A wandelt die Basisvektoren von X in die Basisvektoren von Y um
In diesem Fall wäre
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -\frac 1 2 & 1 \\<br /> \frac 3 4 & \frac 1 2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...oder ist nach der folgenden Matrix gesucht:
sei v € V
A*(v)_X=(v)_Y
d.h. A wandelt einen Vektor aus der Darstellung mit der Basis X in den gleichen Vektor mit Basis Y um

Beispiel mit Werten: sei v = (2,3)
dann ist (v)_X = (1,2) und (v)_Y = (2,1)
A würde also nur die Einträge von v permutieren, also
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\<br /> 1 & 0<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 08:54

DP1996

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Das ist meines Erachtens beides etwas ungeschickt angefangen (oder vllt. auch nur ungeschickt notiert), wobei deine zweite Matrix tatsächlich auf das hinausläuft, was du tun sollst. Letztendlich brauchst du doch folgendes:

-Einen Vektorraum V mit endlicher Dimension
-Eine geordnete(!) Basis B von V mit $\begin{eqnarray*} B=\left\{x_1,x_2,...\right\} \end{eqnarray*}$
-Einen Endomorphismus, der eine Permutation der Basisvektoren vornimmt.
-Die zugehörige Matrix bezüglich der Basis B.

Für dein Beispiel heißt das folgendes:
$\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}_X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}_X \end{eqnarray*}$

Die zugehörige Matrix ist also
$\begin{eqnarray*} M_f(X)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =A \end{eqnarray*}$

Wichtig ist, dass du keine neue Basis Y brauchst, sondern lediglich eine andere Ordnung auf X.

14.04.2012, 18:30

blubbel

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Hmm, ich scheine etwas zu übersehen bzw. ein Missverständnis zu haben bzgl. Basiswechselmatrizen.

Zur Basis: Jep, die muss geordnet sein, daher auch die runden Klammern Augenzwinkern

Ich habe die permutierte Basis nur extra Y benannt, um es übersichtlicher zu machen. Eine "neue" Basis braucht man natürlich nicht, stimmt.

Zu meinem/deinem Beispiel:
Wie du schreibst, gilt f((2,1)) = (0,2). Wenn ich nun A*(2,1) rechne, kommt offensichtlich (1,2) heraus. Das würde zu meiner zweiten Interpretation passen - zur ersten aber gar nicht :/ (nach der ersten Interpretation müsste A*(2,1)=(0,2) gelten, daher die andere Matrix mit den Brüchen..)

15.04.2012, 09:10

DP1996

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Ah, gut, ich glaube, dann haben wir die ganze Zeit etwas aneinander vorbei geredet (bzw. geschrieben)...

Nichtsdestotrotz fasse ich die Aufgabe so auf, wie in meinem letzten Post geschrieben: gesucht sind alle Basiswechselmatrizen, deren zugehörige Endomorphismen (bzw. Automorphismen, denn die Permutationen sind ja bijektiv) die Elemente einer geordneten Basis permutieren...

Zitat:

, welche eine gegebene Basis X von V, abgesehen von der Reihenfolge der Basisvektoren, wieder in sich selbst überführen.

Also X bleibt X und lediglich die Ordnung auf X wird verändert.

Und nach dem Beispiel aus meinem letzten Post dürfte auch klar sein, wie diese Matrizen aussehen.

15.04.2012, 16:37

blubbel

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Dann geh ich mal von dieser Interpretation aus - nicht zuletzt weil man diese Matrizen anschaulicher "beschreiben" kann wie in der Aufgabenstellung gefordert.

Danke smile

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