Wert einer Potenzreihe durch Differentialrechnung

12.04.2012, 12:27

MoCas

Wert einer Potenzreihe durch Differentialrechnung

Meine Frage:
Hallo,

Ich soll für die Potenzreihe b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k} \end{eqnarray*}$ den Konvergenzradius und den Wert der Reihe ermitteln. Zum ermitteln der Reihe sollen wir die Differentialrechnung und die Reihe a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k} \end{eqnarray*}$ zur Hilfe nehmen. Jedoch versteh ich da nur Bahnhof. unglücklich

Meine Ideen:
Den Konvergenzradius zu bestimmen war ja ganz einfach. Der ist 1. Aber zu dem Wert der Reihe: Ich hab jetzt schon eine Weile im Internet recherchiert und weiß, dass die reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k} \end{eqnarray*}$ eine geometrische Reihe mit dem Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1- x} \end{eqnarray*}$ ist. Aber wie hilft mir das weiter?

12.04.2012, 12:34

Cel

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Guck dir noch mal an, wie man Potenzreihen ableitet und bestimme die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig weißt du ja, was als Reihenwert da rauskommt (hast du richtig herausgefunden). Leite auch diesen ab (mit bekannten Ableitungsregeln). Und dann schauen wir weiter.

12.04.2012, 13:18

MoCas

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Danke für die schnelle antwort!

also ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} f(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty 1*x^{k} = \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ abgeleite zu: $\begin{eqnarray*} f'(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^{k} = \frac{1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ .
Kann ich das dann so mit den Indizes umschreiben: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k} = \frac{1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2012, 13:21

Cel

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Zitat:

Original von MoCas
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^{k} = \frac{1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Freude

Das Umschreiben hat noch nicht geklappt. Der Exponent beim x kann nicht gleich bleiben. So, wie du das gemacht hast, ist der erste Exponent beim x die 1. Muss aber die Null sein. Wie sieht das dann nach dem Umschreiben aus?

Edit: Nee, stimmt doch nicht so ganz - wieso hast du 1-x zu x-1 verändert? Anders herum wird 'n Schuh draus. Augenzwinkern

12.04.2012, 13:26

MoCas

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Dann also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ ? Aber dann hab ich ja nicht das, was die aufgabe verlangt. Ich sollte ja den Wert für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k} \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Edit: Danke hab ich verschusselt. also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^{2} } \end{eqnarray*}$

EditEdit: Ach einfach noch mal x rechnen. Dann komm ich auf: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k} = \frac{x}{(1-x)^{2} } \end{eqnarray*}$

RIESEN DANK! Freude

12.04.2012, 13:50

Mystic

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Mit etwas Fantasie geht es auch ganz ohne Ableiten... Dazu muss man sich die fragliche Reihe nur umgeschrieben denken zu

$\begin{eqnarray*} x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\hspace{5mm} x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\hspace{15mm}x^3+x^4+x^5+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\hspace{25mm}x^4+x^5+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\hspace{3cm} \ldots \end{eqnarray*}$

und dann die Zeilensummen (in geschlossener Form!) aufsummieren...

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