p teilt (p^2 über k) Binomialkoeffizient

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Mimzy Auf diesen Beitrag antworten »
p teilt (p^2 über k) Binomialkoeffizient
Meine Frage:
Eine ganze Zahl a > 0 teilt eine ganze Zahl b, falls es eine ganze positive Zahl k gibt, so dass b = ak, man sagt dann auch a ist Teiler von b. p ist eine Primzahl. Zeige oder wiederlege folgende Aussage über Binomialkoeffizienten:
p teilt (p^2 über k) für alle k \in \mathbb N mit 1 <= k <= p^2 -1

Meine Ideen:
(p über k)= p! / (k!*(p-k)!) 1<=k<=p-1
k! wegen k<=p-1 kein Vielfaches von p
(p-k)! wegen k>= 1 ebenfalls nicht
daher lässt sich der Primfaktor p im Zähler nicht weg kürzen
daher gilt auch p | (p über k)

bei (p^2 über k) müsste es doch ähnlich zu zeigen sein:
(p^2 über k) = p^2! / ((k!*(p^2-k)!) 1<=k<=p^2-1
Zähler ist ein Vielfaches von p
k! ist vielfaches von p wenn k>=p
(p^2-k)! ist ein vielfaches von p
hier weis ich nicht weiter ist nun p teiler von (p^2 über k) oder hab ich es mit obiger Beschreibung wiederlegt?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein oberer Beweis stimmt. Er ist blos für die genannte Aufgabe nicht sonderlich nützlich.

Das Problem ist doch, dass der Nenner auf jeden Fall durch p teilbar ist... Der TRick besteht nun darin, zu zeigen, dass der Zähler öfters durch p teilbar ist als der Nenner. Du musst dir überlegen: Wieviele Faktoren im Zähler enthalten p bzw. p^2, was ist also die höchste Potenz von p, die (p^2)! teilt.

Anschließend musst du dir nur noch überlegen, was die höchste Potenz von p ist, die k!*(p^2-k)! teilt. und wenn diese potenz kleiner ist als die des Zählers, bist du fertig.

Nur zu zeigen, dass beides (mindestens einmal) durch p teilbar ist, reicht leider nicht aus.
Mimzy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Im Zähler ist p mit der Potenz von p+1 enthalten und im Nenner mit der Potenz von p
also ist die Potenz des Zählers größer als die des Nenners.

Folglich kann sich der Primfaktor p im Zähler nicht wegkürzen und somit ist gezeigt,
p teilt (p^2 über k).

Ist das so richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimzy
und im Nenner mit der Potenz von p

Sag besser mit Exponent maximal p. Schließlich kommt auch Exponent p-1 im Nenner vor, z.B. gleich bei .
Mimzy Auf diesen Beitrag antworten »

Upss verschreiben!
Bei den Potenzen meinte ich natürlich k+1 im Zähler und im Nenner k.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wird's aber richtig falsch. Und ändere mal bitte deine Formulierungen zu den Potenzen:

"p mit der Potenz von p+1" kann Verwirrung stiften, tatsächlich meinst du ja an der Stelle "p-Potenz mit Exponent p+1".
 
 
Mimzy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Mimzy
und im Nenner mit der Potenz von p

Sag besser mit Exponent maximal p. Schließlich kommt auch Exponent p-1 im Nenner vor, z.B. gleich bei .


Hast natürich Recht.
Eigentlich meinte ich es so,
Zähler ist durch p^{k+1} teilbar und der Nenner ist teilbar durch p^k.

Hab mich wohl falsch ausgedrückt, hoffe dennoch das, das Ergbenis stimmt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was das jetzt mit dem soll: Es ist durchaus richtig, dass der Zähler des Binomialkoeffizienten durch teilbar ist.

taucht im Nenner des Binomialkoeffizienten auf, eben dort im Produkt , aber doch nicht als Exponent einer -Potenz! Ordne bitte mal deine Gedanken. unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Dein oberer Beweis stimmt. Er ist blos für die genannte Aufgabe nicht sonderlich nützlich.

Das ist klar falsch, denn dieser Beweis ist sogar sehr nützlich... Die Behauptung ist doch äquivalent damit, dass in gilt



Mithilfe der Aussage aus dem ersten Beweis folgt dies aber tatsächlich sofort aus



Edit: Ich würde den Beweis aber trotzdem nicht so führen, sondern direkt wie oben vorgeschlagen, da dies vermutlich mehr "im Sinne des Erfinders" ist... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic

Das nenne ich mal ein wirklich überzeugendes Beispiel des sinnvollen (weil effizienten) Einsatzes von erzeugenden Funktionen. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Mystic

Das nenne ich mal ein wirklich überzeugendes Beispiel des sinnvollen (weil effizienten) Einsatzes von erzeugenden Funktionen. Augenzwinkern

Ich nehm das jetzt mal als Lob, und übersehe den Giftpfeil, dass meine bisherigen Beispiele für den Einsatz von erzeugenden Funktionen nicht wirklich sinnvoll waren... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur ein schwacher Giftpfeil, weil ich das "meine bisherigen" durch "manche meiner bisherigen" erheblich abschwächen würde. Also nichts für ungut. Und in der überwiegenden Anzahl der Anwendungsfälle ist der Einsatz zumindest gleichwertig. smile
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