Durch Metrik erzeugte Produkttopologien

12.04.2012, 13:28	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Metrik erzeugte Produkttopologien Meine Frage: Zeige, dass die Metrik $\begin{eqnarray} d_1(x,y) = \sum\limits_{i=1}^n \vert x_i - y_i \vert \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ die Produkttopologie erzeugt. Meine Ideen: Hallo $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ ist ein metrischer (topologischer Raum) mit der Metrik $\begin{eqnarray} d_1 \end{eqnarray}$ . Für ein $\begin{eqnarray} a \in A \subseteq\mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ ist die Umgebungsmenge gegeben durch $\begin{eqnarray} \mathcal{U}(a) = \lbrace x \in\mathbb{R}^d: d_1(x,a) < \varepsilon, \varepsilon > 0 \rbrace \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_i = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist ein metrischer (topologischer Raum) mit der Abstandsmetrik. Die Topologie von $\begin{eqnarray} X_i = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist die Menge aller offener Intervalle. Durch die Topologien der $\begin{eqnarray} X_i = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ wird eine Produkttopologie in $\begin{eqnarray} X = \prod_{i=1}^d X_i \end{eqnarray}$ definiert. Eine Menge $\begin{eqnarray} A \subseteq X \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezüglich der Produkttopologie offen genau dann, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ darstellbar ist als Vereinigung von Durchschnitten endlich vieler Mengen der Form $\begin{eqnarray} p_i^{-1} (O) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} p_i: X \to X_i \end{eqnarray}$ die kanonische Projektion und $\begin{eqnarray} O \subseteq X_i \end{eqnarray}$ eine offene Menge in $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ist. Ich will also folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} A \subseteq\mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ ist offen bzgl. $\begin{eqnarray} d_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist offen bzgl. der Produkttopologie " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} A \subseteq\mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ offen, d.h. $\begin{eqnarray} \forall a \in A \exists\varepsilon > 0: B(a,\varepsilon) = \lbrace x \in\mathbb{R}^d: d_1(x,a) < \varepsilon \rbrace \subseteq A \end{eqnarray}$ . Daher gilt $\begin{eqnarray} \bigcup_{a \in A} B(a,\varepsilon) = A \end{eqnarray}$ Wenn ich also zeigen kann, dass für jedes $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ die Umgebung $\begin{eqnarray} B(a,\varepsilon) \end{eqnarray}$ offen bzgl. der Produkttopologie ist, dann bin ich fertig. Um mir dieses Beispiel zu veranschaulichen habe ich zwei Zeichnungen angefertigt. Ich versuche dabei $\begin{eqnarray} B(a,\varepsilon) \end{eqnarray}$ von innen durch immer kleiner werdende Durchschnitte zu approximieren. Mein Ziel ist es, dass $\begin{eqnarray} B(a,\varepsilon) \end{eqnarray}$ schlußendlich darstellbar ist durch die Vereinigung von dieses Durchschnitten. Ist dieser Plan sinnvoll? Hat jemand eine Idee, wie man diesen Plan auch für $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ umsetzen könnte bzw. "mathematisch" anschreiben? Danke für eure Hilfe Mfg Wellenoptik
12.04.2012, 18:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durch Metrik erzeugte Produkttopologien Also zeigen musst Du ja, daß die durch die in der Aufgabe gegebene Metrik induzierte Topologie gerade die Produkttopologie ist. Wie kann man zeigen, daß zwei Topologien identisch sind? Du weißt wie die Subbasis der Produkttopologie aussieht und wie die Subbasis der durch die Metrik erzeugten Topologie aussieht. Zeige, daß die beiden erzeugten Topologien übereinstimmen. Das ist dann der Fall, wenn?
13.04.2012, 12:17	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durch Metrik erzeugte Produkttopologien Hallo Dennis Zwei Topologien sind ident genau dann, wenn sie jeweils die selben offenen Mengen "erzeugen", d.h. wenn eine Menge in der einen Topologie enthalten ist, dann ist sie auch in der anderen enthalten. Stimmt das? Wir haben das in der Vorlesung leider nicht wirklich besprochen. :-(
13.04.2012, 13:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durch Metrik erzeugte Produkttopologien Zwei Topologien sind identisch, wenn sie die gleichen Mengen enthalten. Ich würde, wie gesagt, versuchen zu zeigen, daß beide Subbasen die gleiche Topologie erzeugen. Das ist dann der Fall, wenn jedes Element der einen Subbasis dargestellt werden kann als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus der anderen Subbasis.
14.04.2012, 17:32	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durch Metrik erzeugte Produkttopologien Ah ok, nun dann: Die Subbasis der Produkttopologie ist die Menge $\begin{eqnarray} \lbrace p^{-1}(O) \| O \subseteq \mathbb{R} \ \text{ein offenes Intervall} \rbrace \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} p: \mathbb{R}^d \to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine kanonische Projektion. Wie finde ich die Subbasis der Topologie $\begin{eqnarray} \lbrace \ \lbrace y \in\mathbb{R}^d \| d_1(x,y) < \varepsilon \rbrace \| x \in\mathbb{R}^d, \varepsilon > 0 \rbrace \end{eqnarray}$ ? Gibt es da einen Trick?
14.04.2012, 17:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die offenen Kugeln bilden eine Basis und jede Basis ist auch Subbasis.
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