Berechnen von Potenzen der Matrizen

12.04.2012, 13:34

erstsemester, 0 plan

Berechnen von Potenzen der Matrizen

Meine Frage:
Ich war heute zum ersten mal in der vorlesung für die lineare algebra und habe schon direkt aufgaben zu einem thema bekommen, von der ich mir sicher bin nicht in der vorlesung bearbeitet zu haben.
hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

1.a)Berechne alle Potenzen A^n,B^k der Matrizen

A= 4 12 8 B= -9 4 -2
-7 -6 -8 ?25 11 ?5
4 -3 2 ?5 2 0

b)Finde alle A E M2(R), für die gilt: A^2 = 0.

2. Beweise mit vollständiger Induktion nach n E N
(1 + 2 + · · · + n)^2 = 1^3 + 2^3 + · · · + n^3 .

Meine Ideen:
eine eigene idee habe ich nicht, weil wie gesagt bin erstsemesterin :/

12.04.2012, 13:43

Math1986

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RE: berechnen von potenzen der matrizen???
Also, du könntest erstmal versuchen, die Matrizen leserlich darzustellen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4&12&8\\-7&-6&-8 \\4&-3&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}-9&4&-2 \\25&11&5\\5&2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das richtig so, oder steht das "?" für irgendwas?
Sind wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Du könntest die ersten Potenzen der Matrizen per Hand berechnen, und damit eine Vermutung aufstellen.

Für die 2) solltest du dir mal das Grundprinzip der vollständigen Induktion ansehen.

12.04.2012, 16:23

erstsemester 0 plan

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verwende so ein Forum zum ersten Mal, daher kenne ich mich noch nicht so gut aus mit dem erstellen von Formeln etc., aber ja so stimmts smile

Zitat:

Du könntest die ersten Potenzen der Matrizen per Hand berechnen, und damit eine Vermutung aufstellen.

Der Prof hat heute nur die Grundbegriffe erklärt und weil die Zeit knapp war, konnte er nicht erklären, wie man die Potenzen von Matrizen berechnet.
Ich bräuchte also erstmal eine Erklärung (und im besten Fall ein Beispiel) zum Thema.

12.04.2012, 16:54

erstsemester, 0 plan

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RE: berechnen von potenzen der matrizen???
unter dem Begriff "Potenzieren" verstehe ich das Multiplizieren eines Elements mit sich selbst. Daraus schliesse ich, dass ich die Matrizen wie folgt potenzieren kann:

\begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \\ -7 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \\ -7 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -36 & 0 & -48 \\ -164 & -24 & -36 \\ 45 & 60 & 60 \end{pmatrix}

Stimmt das so??

12.04.2012, 16:56

erstsemester, 0 plan

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RE: berechnen von potenzen der matrizen???
im meine natürlich so smile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \\ -7 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 12 & 8 \\ -7 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -36 & 0 & -48 \\ -164 & -24 & -36 \\ 45 & 60 & 60 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so??

12.04.2012, 17:56

blubbel

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Die 0, -164 und die rechte -36 scheinen falsch zu sein, der Rest stimmt.

12.04.2012, 19:04

erstsemester, 0 plan

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aber das ist ja die Lösung für n=2. wie siehts da für A^n aus?
und die Aufgabe 1a) verstehe ich an sich nicht, was erwartet wird.

12.04.2012, 21:00

blubbel

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Die Aufgabe klingt tatsächlich komisch, aber die gegebene Matrix ist nicht irgend eine - folge dem Rat von Math1986 einfach einmal und berechne A², A³, ... bis dir etwas auffällt (keine Angst, du wirst nicht viel rechnen müssen Augenzwinkern

). Aber vorher die Rechnung von A² korrigieren, wie gesagt sind da einige Einträge fehlerhaft.

Zur Induktion in Aufgabe 2: Am besten im Skript das Schema des Induktionsbeweises noch einmal durchgehen, bis du die Idee dahinter gut verstanden hast. Danach würde ich mich wieder an diese Aufgabe hier machen smile

12.04.2012, 22:18

erstsemester, 0 plan

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îch hoffe ich muss nicht bis n=50 oder so rechnen smile

danke für die hilfestellungen.
ich fühl mich grad wie die mittlere person in dem smiley Forum Kloppe

aber
noch eine letzte frage smile

:
was ist in der 1b) gefragt Big Laugh

12.04.2012, 22:35

Math1986

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Nein, Matrix A ist harmlos smile

Sicher, dass die Matrix B so stimmt wie ich sie angeschrieben habe, oder soll eines der Fragezeichen ein "-" sein?
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}-9&4&-2 \\25&11&5\\5&2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich komme da auf kein sinnvolles Ergebnis unglücklich

b)Finde alle $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{M}_2\left(\mathbb{R}\right) \end{eqnarray*}$ , für die gilt: $\begin{eqnarray*} A^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst ja mal $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ setzen und dann $\begin{eqnarray*} A^2 = 0 \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und ausrechnen.
(die Null steht in dem Kontext natürlich für die Nullmatrix)

12.04.2012, 22:58

Roper

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Ich setze mein Geld mal auf Big Laugh

:
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}-9&4&-2 \\-25&11&-5\\-5&2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.04.2012, 23:07

Math1986

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Zitat:

Original von Roper
Ich setze mein Geld mal auf Big Laugh

:
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}-9&4&-2 \\-25&11&-5\\-5&2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, das könnte hinkommen

@erstsemester, 0 plan : Einfach mal durchrechnen, so die ersten 5 Potenzen smile

Da fragt man extra nochmal nach ob man die Matrix so richtig abgeschrieben hat... unglücklich

12.04.2012, 23:14

erstsemester 0 plan

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Ok es ist wirklich ein -5, tut mir leid wegen der umstände smile

Soweit habe ich alles kapiert herzlichen dank an alle.
Jetzt muss ich nur noch die induktion verinnerlichen, dann sind die 100% in der tasche smile

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