Klassenzahl

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mattix Auf diesen Beitrag antworten »
Klassenzahl
Meine Frage:
Hallo,
ich soll zeigen, dass die Klassenzahl von groesser als 1 ist.

Meine Ideen:
Ich denke, das ist eine typische Widerspruchsaufgabe, aber mir ist irgendwie nicht ganz klar, was gelten muesste, damit die Klassenzahl eins wäre und wo der Widerspruch entstehen soll...
Spezies8472 Auf diesen Beitrag antworten »

betrachte das ideal .

Und wenn dir nicht klar ist was klassenzahl 1 bedeutet, verstehst du den begriff der klassenzahl nicht.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
hallo mattix,
wenn ich das richtig verstanden habe, musst du dann einfach nur zeigen, das es in Q(sqrt5) elemente
gibt, die man nicht nur auf eine weise in primelemente zerlegen kann, und die gibt es tatsächlich.
Versuch mal, geschickt die 3.bin. formel auszunutzen, und du wirst tausend beispiele finden.
Ein direktes beispiel darf ich dir nicht sagen, dass wäre ja schon die komplettlösung. Big Laugh
gruss ollie3
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
hallo spezies,
sqrt(-5) darfst du doch garnicht verwenden, nur sqrt(5). Ansonsten haben wir ähnliche gedanken.
Spezies8472 Auf diesen Beitrag antworten »

@ollie3:
Freudscher Verleser meinerseits. liegt daran dass der Fragensteller garantiert in der aufgabenstellung stehen hat, denn hat klassenzahl 1.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
Zitat:
Original von ollie3
hallo mattix,
wenn ich das richtig verstanden habe, musst du dann einfach nur zeigen, das es in Q(sqrt5) elemente
gibt, die man nicht nur auf eine weise in primelemente zerlegen kann, und die gibt es tatsächlich.

Ne, die gibt es eben nicht... Eine Darstellung als Produkt von Primelementen ist prinzipiell eindeutig (natürlich nur bis auf triviale Mehrdeutigkeiten, wie Reihenfolge der Faktoren oder deren Assoziiertheit)... Lehrer

Aber davon abgesehen (und ich weiss natürlich, was du meinst!) ist das der einfachste Zugang zu der Aufgabe... Augenzwinkern

Edit: Und ja, ich bin ebenfalls davon ausgegangen, dass in der Angabe der richtige Radikand -5 ist bzw. ich habe das fehlende Minus nicht einmal bemerkt... unglücklich
 
 
mattix Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank fuer die vielen Antworten!
Langsam bekomme ich aber echt die Krise mit dieser bescheuerten Hausaufgaben. In fast jeder Aufgabe ist ein Fehler... Ich habe mich nicht verschrieben. In der Originalaufgabe steht wirklich auch und ich hab auch nicht bemerkt, dass das falsch ist unglücklich
Ich glaube, ich muss mir wirklich nochmal die Definition der Klassenzahl anschauen.
mattix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
Zitat:
Original von ollie3
wenn ich das richtig verstanden habe, musst du dann einfach nur zeigen, das es in Q(sqrt5) elemente
gibt, die man nicht nur auf eine weise in primelemente zerlegen kann, und die gibt es tatsächlich.
Versuch mal, geschickt die 3.bin. formel auszunutzen, und du wirst tausend beispiele finden.


Ein solches Beispiel wäre doch:

Aber mir ist nicht ganz klar, wieso das reicht,um zu zeigen, dass die Klassenzahl ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
Zitat:
Original von mattix
Zitat:
Original von ollie3
wenn ich das richtig verstanden habe, musst du dann einfach nur zeigen, das es in Q(sqrt5) elemente
gibt, die man nicht nur auf eine weise in primelemente zerlegen kann, und die gibt es tatsächlich.
Versuch mal, geschickt die 3.bin. formel auszunutzen, und du wirst tausend beispiele finden.


Ein solches Beispiel wäre doch:

Aber mir ist nicht ganz klar, wieso das reicht,um zu zeigen, dass die Klassenzahl ist.

Du brauchst zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen eines Elements in irreduzible Elemente... Dein Beispiel krankt aber an 3 Dingen, nämlich

1. 6 ist offensichtlich nicht irreduzibel, also keine solche Zerlegung
2. Die rechte Seite deiner Gleichung könnte eine sein, wenn du zeigst, dass die Faktoren irreduzibel sind, was du aber noch nicht gemacht hast
3. Schließlich fehlt noch der Nachweis von "wesentlich verschieden", auch wenn dieser sehr leicht ist

Und ja, hätte der Ring die Klassenzahl 1, dann wäre er u.a. faktoriell, d.h., es könnte dann keine solche zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen geben...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Vollständigkeit:

Das in "naheliegende" Gegenbeispiel ist keines, weil assoziiert sind, denn ihre Quotienten haben Norm und sind ganz über

Schließlich muss man ja den Ring der ganzen Zahlen, also betrachten, und nicht etwa
mattix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klassenzahl
Zitat:
Original von Mystic

Du brauchst zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen eines Elements in irreduzible Elemente... Dein Beispiel krankt aber an 3 Dingen, nämlich

1. 6 ist offensichtlich nicht irreduzibel, also keine solche Zerlegung
2. Die rechte Seite deiner Gleichung könnte eine sein, wenn du zeigst, dass die Faktoren irreduzibel sind, was du aber noch nicht gemacht hast
3. Schließlich fehlt noch der Nachweis von "wesentlich verschieden", auch wenn dieser sehr leicht ist

Und ja, hätte der Ring die Klassenzahl 1, dann wäre er u.a. faktoriell, d.h., es könnte dann keine solche zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen geben...


Danke für die Antwort!
Zu 1. Ich kann schreiben. Und dann müsste ich wohl noch zeigen, dass 2, 3 irreduzibel sind.
Zu 2. Dafür müsste ich doch zeigen, dass ich die beiden Faktoren nicht als Produkt schreiben kann, oder?
Zu 3. "wesentlich verschieden" habe ich noch nie gehört...Da muss ich erstmal nachschauen, was das ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da Mystic offline ist, beantworte ich mal deine Fragen:

Zu 1. Genau, das ist die richtige Idee. Was zu zeigen bleibt, hast du ja selbst geschrieben.

Allerdings muss du ja auch noch zeigen, dass beide irreduzibel sind.

Zu 2.

Genau. Das geht aber bei allen 4 Zahlen in einem Rutsch. Schau dir mal von allen 4 Zahlen die Norm an. Welche Norm(en) hätten dann die Faktoren in einer möglichen echten Zerlegung? Zeige dann, dass solche Norm(en) in nicht vorkommen.

Zu 3. "wesentlich verschieden" meint hier, dass die beiden Zerlegungen nicht bis auf Einheiten doch gleich sind. Siehe dazu z.b. meinen letzten Post. Die beiden Zerlegungen der 4 sehen auch irgendwie verschieden aus, sind sie aber letztendlich nicht, da sie sich nur bis auf Einheiten (bis auf Assoziiertheit) unterscheiden.

D.h. du müsstest zeigen, dass die 2 nicht zu einer der beiden Zahlen assoziiert ist. (Dann ist es die 3 automatisch auch nicht).
Da hilft wieder ein Argument über die Norm.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
D.h. du müsstest zeigen, dass die 2 nicht zu einer der beiden Zahlen assoziiert ist. (Dann ist es die 3 automatisch auch nicht).
Da hilft wieder ein Argument über die Norm.


Danke für die professionelle Vertretung... Freude

Was aber obiges Argument betrifft, so geht das m.E. noch eine Spur einfacher...Wäre nämlich 2 zu einem der Elemente assoziiert, so müsste es insbesondere Teiler davon sein, d.h., es müsste dann ein geben, sodass gilt



was aber durch Vergleich der Realteile sofort auf den Widerspruch führt... Augenzwinkern
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist eine Klassenzahl?
Hi!
Ich greife das Thema Klassenzahl nochmal auf, und verstehe den Begriff fast überkaupt nicht...
Ist es die Anzahl der Möglichkeiten wie eine ganze Zahl sagen wir 6 im Ganzheitsring z.B. zum Körper in Primelemente zerlegt werden kann? Das geht 2 mal.
was aber fuer 6 gilt muss ja nicht fuer andere ganze Zahlen in gelten.
Es gilt :

Also alle Vielfachheiten von 6 können der Art in Primelemente zerlegt werden , analog aller z in Z, dass die Klassenzahl h_k = 1 hat, da Z ein ZPE ring ist.
Was ist aber mit allen anderen Elementen von ?
Sie können gar nicht, 1 mal , 2 mal oder auf n verschieden weisen in einem Dedekindring faktorisiert werden.
oder sind selbst prim.
Ist die Klassenzahl ein Maximum der Fakrorisierungsmöglickeiten?
Für (6) ist es klar aber ´was ist mit 537 oder so, Primelement in Z aber evtl. nicht in ?
Ich verstehe auch den Begriff assoziiert nicht. Wann sind 2 Elemente also Zahlen in L assoziiert ?
Das mit den Einheiten in L zu tun denke ich.
Tx
oder soll ich n neuen thread aufmachen ?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Ist die Klassenzahl ein Maximum der Fakrorisierungsmöglickeiten?

Nein. In diesem Ring hat z.B. 36 (mind.?) 3 Faktorisierungsmöglichkeiten.
Der Ring hat Klassenzahl 2.


Zitat:
Ich verstehe auch den Begriff assoziiert nicht.

Der Begriff hat eine eindeutige Definition: a asoz. zu b, falls eine Einheit r exist. mit a=rb.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Primzerlegung in algebraischen Zahlkörpern ist eindeutig in der zur Idealgruppe isomorphen Divisorengruppe . Diese enthält die Hauptdivisorengruppe . Die Divisorenklassengruppe ist stets endlich, und ihre Ordnung , also der Index der Hauptdivisorengruppe in der Divisorengruppe heißt Klassenzahl von . ist gleichbedeutend damit, dass der Ring der ganzen Elemente von faktoriell ist.

ist das klassische Beispiel für die Mehrdeutigkeit der Primzerlegung in quadratischen Zahlkörpern.
Die Eindeutigkeit der Primzerlegung in ergibt .

Die Zerlegungsgesetze in für rationale Primzahlen in quadratischen Zahlkörpern sind bekannt (siehe z.B. Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie), womit die Frage nach dem Beispiel 587 beantwortet werden kann ( 537=3*179 ist keine Primzahl ). Es gibt hier genau 3 Möglichkeiten: heißt träge, heißt zerlegt, heißt verzweigt (das letzte gilt genau für Diskriminantenteiler ) .
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Idealklasse
Zitat:
Original von juergen007



ja, hi,
Diese Beispiel ist aus http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf

Jedes der in runden Klammern stehende Begriffe ist ein Prim-Ideal in , oder ?




sind quasi zusammengesetzte Ideale.
sind jeweils assoziiert.

Ich wollte nur wissen ob obiges stimmt. ein ja oder nein reicht mir schonAugenzwinkern
Es geht mir dann darum: was sind die die disjunkten Idealklassen in K?
es gibt offenbar 2 sind es ?

Idealklasse ist also der unklare Begriff.
ergänzt:
Und wie ermittle ich die Klassenzahl von allgemein? Sei zB d = 23.
Thx
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis

Die Primzerlegung in algebraischen Zahlkörpern ist eindeutig in der zur Idealgruppe isomorphen Divisorengruppe . Diese enthält die Hauptdivisorengruppe . .


jo, thx
Ich sah deinen Beitrag erst nach meinem letzten sry. Du führst gleich 3 für mich neue Begriffe ein
Idealgruppe
Divisorengruppe
Hauptdivisorengruppe

Und was ist der Unterschied zwische klein und gross p? dann
ist
verzweigt?
Thx
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Zugang zur algebraischen Zahlentheorie beruht auf der Divisorentheorie von Kurt Hensel, die nach dem "Hauptsatz der Idealtheorie" zur Theorie der Ideale gleichwertig ist. Die Divisorentheorie hat den wichtigen Vorteil, dass die Divisoren als Bewertungen lokaler Körper leichter zu verstehen sind. Außerdem haben Kurt Hensel und Helmut Hasse wichtige Beiträge zur Zahlentheorie aus lokal-global-Prinzipien entwickelt.

Ich versuche es in der Sprache der Ideale:

Mit bezeichne ich ein Primideal des Grundkörpers, hier eine rationale Primzahl. ist ein Primideal der Körpererweiterung, hier des quadratischen Zahlkörpers. Das macht Milne in diesem Beispiel ganz genau so. Auch die Zerlegungsgesetze in quadratischen Körpererweiterungen finden sich bei ihm (Kapitel 3).

Die Idealgruppe, Hauptidealgruppe und Idealklassengruppe definiert Milne später. Die Endlichkeit der Klassenzahl beweist er in Kapitel 4. Das kannst Du erst verstehen, wenn Du bis dahin vorgedrungen bist. Nach dem ersten motivierenden Beispiel kann man noch gar nicht sinnvoll darüber reden.

Ein Hauptideal wird von einem Element des Zahlkörpers erzeugt. Also gehören und zur Hauptklasse.
Da der quadratische Zahlkörper die Klassenzahl 2 hat, ist die Klassengruppe.

6 ist keine Primzahl, 6=2*3, 2 und 3 sind zerlegt. Auch die beiden anderen Primfaktoren von 6 sind zerlegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der "Bestimmung der Klassenzahl" hat Helmut Hasse in seinen "Vorlesungen über Zahlentheorie" den § 18 im vierten Abschnitt "Quadratische Zahlkörper" gewidmet.
Die Berechnungen hängen zusammen mit Einheiten, also mit der Geometrie der Zahlen, und mit analytischen Formeln. Wie immer weiß auch Wiki etwas : http://de.wikipedia.org/wiki/Klassenzahl

In "Zahlentheorie" von Borewics/Safarewics finde ich eine Tabelle der Divisorenklassenzahlen reell-quadratischer Körper, für d=23 gilt h=1. Dieselbe Quelle sagt für d=-23 h=3 .

Und pass bitte besser auf ! Mystic hat schon darauf hingewiesen, dass wir von Zahlkörpern über reden und nicht von Ringen über .
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